Question

4．若直線ax+2by-2=0（a≥b＞0），始終平分圓x²+y²-4x-2y-8=0的周長，則$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$的最小值為（　　）

• A． 1
• B． 3+2$\sqrt{2}$
• C． 4
• D． 6

Answer 1

分析 利用直線與圓的位置關系求出a，b的關系，就所求表達式，通過函數(shù)的單調性，求解最值即可．

解答 解：因為直線ax+2by-2=0（a≥b＞0），始終平分圓x²+y²-4x-2y-8=0的周長，
所以直線直線ax+2by-2=0過圓的圓心（2，1），
則2a+2b-2=0，即a+b=1；
則$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$=$\frac{a+b}{a}+\frac{2a+2b}$=3$+\frac{a}+\frac{2a}$．
令t=$\frac{a}$，（0＜t≤1），則f（t）=t+$\frac{2}{t}+3$在（0，1]上單調遞減，f_min（t）=f（1）=1+2+3=6，
故$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$的最小值為6．
故選：D．

點評 本題考查直線與圓的位置關系、基本不等式的應用．本題改編自2015屆山東省樂陵市一中高三上學期期中考試文試卷第8題，改編了①條件（給定a，b的關系），②這是一道易錯題，容易利用基本不等式求最小值．