Question

如圖，四棱錐中,，底面為梯形，，，且.（10分）

（1）求證：;

（2）求二面角的余弦值.

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）二面角的余弦值為．

【解析】

試題分析：（1）連結(jié),交于點,連結(jié)，由所給條件可得，即，則；（2）以為原點，所在直線分別為軸、軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)，則可得坐標(biāo)，設(shè)為平面的一個法向量，由

，可得，同理為平面的一個法向量，， 知二面角的余弦值.

試題解析：（1）連結(jié),交于點,連結(jié)， ∵，， ∴

又 ∵, ∴∴ 在△BPD中，

∴∥平面----------------4分

（2）方法一：以為原點，所在直線分別為軸、軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)，則，，，，．

設(shè)為平面的一個法向量，

則，，∴，

解得，∴．

設(shè)為平面的一個法向量，則，，

又，，∴，

解得，∴

∴二面角的余弦值為． -------------------10分

方法二：在等腰Rt中，取中點，連結(jié)，則

∵面⊥面，面面=，∴平面．

在平面內(nèi)，過作直線于，連結(jié)，由、，

得平面，故．

∴就是二面角的平面角．

在中，設(shè)，，，

，，

由，可知：∽，

∴， 代入解得：．

在中，，

∴，．

∴二面角的余弦值為．

考點：線面平行的判定定理，二面角，空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算.