Question

已知函數(shù)（）．

（1）若的定義域和值域均是，求實數(shù)的值；

（2）若對任意的，，總有，求實數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

(1) ; (2) ．

【解析】

試題分析：(1)首先用配方法求出二次函數(shù)的對稱軸為，由于，知函數(shù)在已知區(qū)間是為減函數(shù)，要使函數(shù)定義域和值域均為，必須且只需 ，從而得到關于a的方程組，解此方程組得實數(shù)的值；(2)因為對任意的，，總有，等價于：，所以問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在的最大值和最小值；由于二次函數(shù)的開口向上，且對稱軸為，所以其最小值一定是，而最大值就是兩個端點值所對函數(shù)值中的較大者，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：等價于比較兩個區(qū)間的端點誰離對稱軸遠些；由此只需按與1的大小進行分類討論，即可用a的代數(shù)式表示出函數(shù)在的最大值和最小值，然后代入就可求得a的取值范圍．

試題解析：（1）∵（）,

∴在上是減函數(shù)，又定義域和值域均為，∴ ，

即 ， 解得 ．

（2）若，又，且，

∴，．

∵對任意的，，總有，

∴， 即 ，解得 ，

又， ∴．

若，

顯然成立，

綜上．

考點：１．二次函數(shù)的單調(diào)性與最值；２．分類討論．