Question

在平面直角坐標系xOy中，把矩陣B=

1 2 0 0 1

確定的壓縮變換σ與矩陣A=

0 -1 1 0

確定的旋轉(zhuǎn)變換R_90°進行復合，得到復合變換R_90°．σ．
（I）求復合變換R_90°．σ的坐標變換公式；
（Ⅱ）求圓C：x²+y²=1在復合變換R_90°．σ的作用下所得曲線C′的方程．

Answer 1

考點：幾種特殊的矩陣變換

專題：選作題,矩陣和變換

分析：（I）利用定義，可求復合變換R_90°．σ的坐標變換公式；
（Ⅱ）求任意一點在復合變換R_90°．σ的作用下變換后的點，代入已知曲線方程即可求得所求曲線方程．

解答： 解：（I）∵A=

0 -1 1 0

，B=

1 2 0 0 1

∴AB=

0 -1 1 0

1 2 0 0 1

=

0 -1 1 2 0

，
∴復合變換R_90°．σ的坐標變換公式為

x′=-y y′= 1 2 x

；
（Ⅱ）設圓C：x²+y²=1上任意一點P（x，y），在復合變換R_90°．σ的作用下得到P′（x′，y′），
則

x′=-y y′= 1 2 x

，即

x=2y′ y=x′

代入圓C：x²+y²=1可得：（2y′）²+（-x）²=1，
∴曲線C′的方程為x²+4y²=1．

點評：本題主要考查了幾種特殊的矩陣變換，矩陣變換是附加題中�？嫉�，屬于基礎題．