Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（x+2）+f（x）=0，且函數(shù)f（x+1）為奇函數(shù)，對于下列命題：
①函數(shù)f（x）滿足f（x+4）=f（x）；
②函數(shù)f（x）圖象關于點（1，0）對稱；
③函數(shù)f（x）的圖象關于直線x=2對稱；
④函數(shù)f（x）的最大值為f（2）；
⑤f（2009）=0．
其中正確的序號為

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)的周期性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：①利用函數(shù)的定義判斷．②利用點對稱的性質(zhì)判斷．③利用軸對稱去判斷．④利用函數(shù)的周期性和對稱性判斷．⑤利用周期性和對稱性將f（2009）進行轉(zhuǎn)換求值．

解答： 解：①對
因為f（x+2）+f（x）=0
得f（x+2）=-f（x）
即f（x+4）=f（x+2+2）=-f（x+2）=-[-f（x）]=f（x）
②對
函數(shù)f（x+1）為奇函數(shù)，即函數(shù)f（x）向左平移一個單位以后關于（0，0）對稱，
∴平移之前的圖象應該關于（1，0）對稱，故②正確；
③對
由f（x+2）=-f（x）
得f（x+1+2）=-f（x+1）
又由f（-x+1）=-f（x+1）
知f（x+1+2）=f（-x+1）
即f（x+3）=f（-x+1）
故函數(shù)f（x）有對稱軸x=2
即f（x）的圖象關于直線x=2對稱
④不對
對于f（x+2）+f（x）=0，因為是奇函數(shù)，
所以f（0）=0，也就是 f（2）=-f（0）=0，
因為函數(shù)的單調(diào)性沒有給出，所以無法確定函數(shù)的最大值，即④錯誤．
⑤對
由①知
f（2009）
=f（502×4+1）
=f（1）
又由②知F（x）=f（x+1）
令x=0，則F（0）=f（0+1）=0
即f（1）=0
即f（2009）=0

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和周期性的應用，還考查了函數(shù)的對稱及與圖象的平移變換，綜合性較強，屬于中檔題．