Question

5．求下列數(shù)列的通項公式：
（1）a₁=1，a_n=$\sqrt{3{{a}_{n-1}}^{2}}$（n≥2）；
（2）a₁=1，a_n+1-a_n=ka_n•a_n+1．

Answer 1

分析 （1）通過a_n=$\sqrt{3{{a}_{n-1}}^{2}}$＞0可知${{a}_{n}}^{2}$=3${{a}_{n-1}}^{2}$，進(jìn)而數(shù)列{${{a}_{n}}^{2}$}是以1為首項、3為公比的等比數(shù)列，計算即得結(jié)論；
（2）通過對等式a_n+1-a_n=ka_n•a_n+1兩邊同時除以ka_n•a_n+1可知$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=k，進(jìn)而數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1為首項、-k為公差的等差數(shù)列，計算即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵a_n=$\sqrt{3{{a}_{n-1}}^{2}}$＞0，
∴${{a}_{n}}^{2}$=3${{a}_{n-1}}^{2}$，
又∵${{a}_{1}}^{2}$=1，
∴數(shù)列{${{a}_{n}}^{2}$}是以1為首項、3為公比的等比數(shù)列，
∴${{a}_{n}}^{2}$=3^n-1，
∴a_n=$\sqrt{{3}^{n-1}}$=${3}^{\frac{n-1}{2}}$；
（2）∵a_n+1-a_n=ka_n•a_n+1，
∴$\frac{{a}_{n+1}-{a}_{n}}{{a}_{n+1}•{a}_{n}}$=$\frac{k{a}_{n}•{a}_{n+1}}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，即$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=k，
又∵$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1為首項、-k為公差的等差數(shù)列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1-（n-1）k，
∴a_n=$\frac{1}{1-（n-1）k}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項，注意解題方法的積累，屬于中檔題．