Question

15．對(duì)于二元函數(shù)有如下定義：對(duì)于平面點(diǎn)集D，若按照某種對(duì)應(yīng)法則f使得D中的每一點(diǎn)P（x，y）都有唯一的實(shí)數(shù)z與之對(duì)應(yīng)，則稱f為在D上的二元函數(shù)．D稱為二元函數(shù)的定義域，全體函數(shù)值構(gòu)成的集合稱為二元函數(shù)的值域，使得f（x，y）=0成立的實(shí)數(shù)對(duì)（x，y）稱為二元函數(shù)的“上升點(diǎn)”，若二元函數(shù)f（x，y）=3+sin[π+（2x+$\frac{1}{2}$）]-$\frac{2{x}^{2}+16xy+32{y}^{2}+2}{x+4y}$，（x，y）∈D₁存在“上升點(diǎn)”，則二元函數(shù)h（x，y）=（x+4）²+（y+3）²，（x，y）∈D₁的最小值為（　�。�

• A． $\sqrt{13}$
• B． 17
• C． $\frac{53}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{53}}{2}$

Answer 1

分析 由新定義可得3-sin（2x+$\frac{1}{2}$）=2（x+4y+$\frac{1}{x+4y}$），運(yùn)用正弦函數(shù)的值域和基本不等式，可得x+4y=1，由二元函數(shù)h（x，y）=（x+4）²+（y+3）²，（x，y）∈{（x，y）|x+4y=1}的幾何意義為兩點(diǎn)（x，y）與（-4，-3）的距離的平方，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式即可得到所求最小值．

解答 解：由題意可得f（x，y）=0即為
3+sin[π+（2x+$\frac{1}{2}$）]-$\frac{2{x}^{2}+16xy+32{y}^{2}+2}{x+4y}$=0，
即3-sin（2x+$\frac{1}{2}$）=2（x+4y+$\frac{1}{x+4y}$），
由-1≤sin（2x+$\frac{1}{2}$）≤1，可得2≤3-sin（2x+$\frac{1}{2}$）≤4，
則x+4y＞0，且x+4y+$\frac{1}{x+4y}$≥2$\sqrt{（x+4y）•\frac{1}{x+4y}}$=2，
即2（x+4y+$\frac{1}{x+4y}$）≥4，
則x+4y+$\frac{1}{x+4y}$=2，即有x+4y=1，
則二元函數(shù)h（x，y）=（x+4）²+（y+3）²，（x，y）∈{（x，y）|x+4y=1}
的幾何意義為兩點(diǎn)（x，y）與（-4，-3）的距離的平方，
由點(diǎn)到直線的距離公式可得d=$\frac{|-4-12-1|}{\sqrt{1+16}}$=$\sqrt{17}$．
即有二元函數(shù)h（x，y）的最小值為17．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查新定義的理解和運(yùn)用，考查正弦函數(shù)的值域和基本不等式的運(yùn)用，同時(shí)考查兩點(diǎn)的距離公式和點(diǎn)到直線的距離公式的運(yùn)用，屬于中檔題．