已知函數(shù)f(x)=x2-4,設(shè)曲線y=f(x)在點(diǎn)(xn,f(xn))處的切線與x軸的交點(diǎn)為(xn+1,0),其中x1為正實(shí)數(shù),n∈N*
(1)用xn表示xn+1;
(2)若x1=4,記an=lg
xn+2
xn-2
(n∈N*)
,試判斷數(shù)列{an}是否是等比數(shù)列,若是求出其公比;若不是,請(qǐng)說明理由;
(3)在(2)的條件下,設(shè)bn=
(2n+5)lg3
2(2n+1)(2n+3)an
,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,證明:
7
30
Sn
1
3
考點(diǎn):數(shù)列與函數(shù)的綜合
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出切線的斜率,從而得到切線方程.將y=0代入方程即可得出xn與xn+1的關(guān)系;
(2)利用等比數(shù)列的定義即可判斷該數(shù)列是等比數(shù)列,并可求出公比;
(3)先化簡(jiǎn)bn,然后利用分組求和法求出Sn,再利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解不等式即可.
解答: 解:(1)由題可得f'(x)=2x,
∴曲線y=f(x)在點(diǎn)(xn,f(xn))處的切線方程是
y-f(xn)=f′(xn)(x-xn),
y-(xn2-4)=2xn(x-xn)
令y=0,
-(xn2-4)=2xn(xn+1-xn),
xn2+4=2xnxn+1
顯然xn≠0,
xn+1=
2xn2+4
xn

(2)數(shù)列{an}是等比數(shù)列,證明如下:
xn+1=
2xn2+4
xn
an=lg
xn+2
xn-2

an+1=lg
xn+1+2
xn+1-2
=lg
xn2+4
2xn
+2
xn2+4
2xn
-2

=lg
(xn+2)2
(xn-2)2
=lg(
xn+2
xn-2
)2=2lg
xn+2
xn-2
=2an
,
an+1
an
=2
,
∴數(shù)列{an}成等比數(shù)列,公比為2.                              
(3)∵x1=4,
a1=lg
x1+4
x1-4
=lg3
,
由(2)得an=a12n-1=2n-1lg3,
bn=
(2n+5)lg3
2(2n+1)(2n+3)•an

=
2n+5
(2n+1)(2n+3)
1
2n

=(
2
2n+1
-
1
2n+3
)•
1
2n

=
1
(2n+1)2n-1
-
1
(2n+3)2n
,
∴Sn=b1+b2+…+bn
=(
1
3
-
1
5•2
)+(
1
5•2
-
1
7•22
)+…+[
1
(2n+1)2n-1
-
1
(2n+3)2n
]

=
1
3
-
1
(2n+3)2n
,
故數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn=
1
3
-
1
(2n+3)2n
,
1
(2n+3)•2n
>0
,
Sn
1
3
,
又∵
1
(2n+3)•2n
單調(diào)遞增,
Sn=
1
3
-
1
(2n+3)•2n
單調(diào)遞減,
∴當(dāng)n=1時(shí),Sn的最小值為
7
30
,
7
30
Sn
1
3
點(diǎn)評(píng):本題考查等比數(shù)列的相關(guān)知識(shí)以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義,函數(shù)單調(diào)性,數(shù)列求和,不等式等知識(shí)的綜合應(yīng)用.屬于難題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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函數(shù)y=f(x),(-
a2
2
≤x≤2)
是奇函數(shù),由實(shí)a數(shù)的值是( �。�
A、-2B、2
C、2或-2D、無法確定

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A、在圓外B、在圓內(nèi)
C、在圓上D、不確定

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平面直角坐標(biāo)系xoy中,已知A(1,0),B(0,1),C(-1,c)(c>0),且|OC|=2,若
OC
OA
OB
,則實(shí)數(shù)λ,μ的值分別是(  )
A、
3
,1
B、1,
3
C、-
3
,1
D、-1,
3

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設(shè)C1 是以F為焦點(diǎn)的拋物線y2=2px(p>0),C2是以直線2x-
3
y=0與2x+
3
y=0為漸近線,以(0,
7
)為一個(gè)焦點(diǎn)的雙曲線.
(Ⅰ) 求雙曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ) 若C1與C2在第一象限內(nèi)有兩個(gè)公共點(diǎn)A和B,求p的取值范圍,并求
FA
FB
的最大值.

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已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是(1,2),端點(diǎn)A在圓(x+1)2+y2=4上運(yùn)動(dòng),求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程,并說明軌跡的形狀.

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已知函數(shù)f(x)=sin(
1
2
x+
π
3
),x∈R.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,π]上的最大值及最小值;
(3)將函數(shù)y=sin(
1
2
x+
π
3
)的圖象作怎樣的變換可得到y(tǒng)=sinx的圖象?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

對(duì)于函數(shù)f(x),若存在實(shí)數(shù)對(duì)(a,b),使得f(a+x)•f(a-x)=b對(duì)定義域中的每一個(gè)x都成立,則稱函數(shù)f(x)是“(a,b)型函數(shù)”.
(1)判斷函數(shù)f1(x)=x是否為“(a,b)型函數(shù)”,并說明理由;
(2)若函數(shù)f2(x)=tanx是“(a,b)型函數(shù)”,求滿足條件的實(shí)數(shù)對(duì)(a,b)所組成的集合;
(3)已知函數(shù)g(x)是“(a,b)型函數(shù)”,對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)對(duì)(a,b)為(1,4).當(dāng)x∈[0,1]時(shí),g(x)=x2+m(x-1)+1(m>0),若當(dāng)x∈[0,2]時(shí),都有1≤g(x)≤4,試求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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(a+sinx)(4+sinx)
1+sinx
的最小值.

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同步練習(xí)冊(cè)答案
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