【題目】橢圓C: =1(a>b>0)的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,焦距為2,且與橢圓x2+ =1有相同離心率,直線l:y=kx+m與橢圓C交于不同的A,B兩點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若在橢圓C上存在點(diǎn)Q,滿足 ,(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求實(shí)數(shù)λ取值范圍.
【答案】解:( I)由已知可 解得 ,∴b=1.
所求橢圓C的方程 .
( II)由 得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣2=0,
∴△=16k2m2﹣4(1+2k2)(2m2﹣2)=8(1+2k2﹣m2).
由直線直線l與橢圓C交于不同的A,B兩點(diǎn),有△>0,∴1+2k2>m2 . ①
設(shè)點(diǎn)A(x1 , y1),B(x2 , y2),則
于是 .
當(dāng)m=0時(shí),易知點(diǎn)A,B關(guān)于原點(diǎn)對稱,則λ=0;
當(dāng)m≠0時(shí),易知點(diǎn)A,B不關(guān)于原點(diǎn)對稱,則λ≠0.
由 ,得 即 .
∵Q點(diǎn)在橢圓上,∴ .
化簡得4m2(1+2k2)=λ2(1+2k2)2 .
∵1+2k2≠0,∴4m2=λ2(1+2k2). ②
由①②兩式可得λ2<4,∴﹣2<λ<2且λ≠0.
綜上可得實(shí)數(shù)λ的取值范圍是﹣2<λ<2
【解析】(Ⅰ)利用已知條件列出橢圓幾何量的方程組,求解a,b,即可求橢圓C的方程;(Ⅱ)聯(lián)立直線與橢圓方程,利用韋達(dá)定理,結(jié)合向量關(guān)系,推出結(jié)果即可.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識,掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸:,焦點(diǎn)在y軸:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,Sn為{an}的前n項(xiàng)和,且a10=19,S10=100;數(shù)列{bn}對任意n∈N* , 總有b1b2b3…bn﹣1bn=an+2成立.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)記cn=(﹣1)n ,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是一塊地皮,其中, 是直線段,曲線段是拋物線的一部分,且點(diǎn)是該拋物線的頂點(diǎn), 所在的直線是該拋物線的對稱軸.經(jīng)測量, km, km, .現(xiàn)要從這塊地皮中劃一個矩形來建造草坪,其中點(diǎn)在曲線段上,點(diǎn), 在直線段上,點(diǎn)在直線段上,設(shè)km,矩形草坪的面積為km2.
(1)求,并寫出定義域;
(2)當(dāng)為多少時(shí),矩形草坪的面積最大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)有4個人去參加某娛樂活動,該活動有甲、乙兩個游戲可供參加者選擇.為增加趣味性,約定:每個人通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去參加哪個游戲,擲出點(diǎn)數(shù)為1或2的人去參加甲游戲,擲出點(diǎn)數(shù)大于2的人去參加乙游戲.
(Ⅰ)求這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率;
(Ⅱ)用X,Y分別表示這4個人中去參加甲、乙游戲的人數(shù),記ξ=|X﹣Y|,求隨機(jī)變量ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望Eξ.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若定義在上的函數(shù)滿足:對任意的,當(dāng)時(shí),都有,則稱是“非減函數(shù)”.
(1)若是“非減函數(shù)”,求的取值范圍;
(2)若為周期函數(shù),且為“非減函數(shù)”,證明是常值函數(shù);
(3)設(shè)恒大于零,是定義在R上、恒大于零的周期函數(shù),是的最大值。函數(shù)。證明:“是周期函數(shù)”的充要條件“是常值函數(shù)”.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某大學(xué)城校區(qū)與本部校區(qū)之間的駕車單程所需時(shí)間為,只與道路暢通狀況有關(guān),對其容量為500的樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì),結(jié)果如下:
(分鐘) | 25 | 30 | 35 | 40 |
頻數(shù)(次) | 100 | 150 | 200 | 50 |
以這500次駕車單程所需時(shí)間的頻率代替某人1次駕車單程所需時(shí)間的概率.
(1)求的分布列與;
(2)某天有3位教師獨(dú)自駕車從大學(xué)城校區(qū)返回本部校區(qū),記表示這3位教師中駕車所用時(shí)間少于的人數(shù),求的分布列與;
(3)下周某天張老師將駕車從大學(xué)城校區(qū)出發(fā),前往本部校區(qū)做一個50分鐘的講座,結(jié)束后立即返回大學(xué)城校區(qū),求張老師從離開大學(xué)城校區(qū)到返回大學(xué)城校區(qū)共用時(shí)間不超過120分鐘的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,其中左焦點(diǎn)(-2,0).
(1) 求橢圓C的方程;
(2) 若直線y=x+m與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B,且線段AB的中點(diǎn)M在圓x2+y2=1上,求m的值.
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【題目】已知橢圓C1: =1(a>b>0)的離心率為e= ,且過點(diǎn)(1, ).拋物線C2:x2=﹣2py(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,﹣ ).
(Ⅰ)求橢圓C1和拋物線C2的方程;
(Ⅱ)若點(diǎn)M是直線l:2x﹣4y+3=0上的動點(diǎn),過點(diǎn)M作拋物線C2的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,直線AB交橢圓C1于P,Q兩點(diǎn).
(i)求證直線AB過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)坐標(biāo);
(ii)當(dāng)△OPQ的面積取最大值時(shí),求直線AB的方程.
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