Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\frac{2}{x}$+3lnx，g（x）=x+a（a∈R）．
（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點（1，2）處的切線方程；
（Ⅱ）若方程f（x）=g（x）有唯一解，試求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得函數(shù)f（x）的導數(shù)，可得切線的斜率和切點，由點斜式方程，可得所求切線的方程；
（Ⅱ）方程f（x）=g（x）有唯一解$?\frac{2}{x}+3lnx-x=a$有唯一解，設$h（x）=\frac{2}{x}+3lnx-x$，求得導數(shù)和單調區(qū)間、極值，作出圖象，求出直線y=a和y=h（x）的圖象的一個交點的情況，即可得到所求a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵$f'（x）=-\frac{2}{x^2}+\frac{3}{x}=\frac{3x-2}{x^2}$，又f（1）=2，
可得切線的斜率k=f'（1）=1，
切線方程為y-2=x-1，即x-y+1=0；
（Ⅱ）方程f（x）=g（x）有唯一解$?\frac{2}{x}+3lnx-x=a$有唯一解，
設$h（x）=\frac{2}{x}+3lnx-x$，
由題意可得，當x＞0時，函數(shù)y=h（x）與y=a的圖象有唯一的交點．
∵$h'（x）=-\frac{2}{x^2}+\frac{3}{x}-1=-\frac{{{x^2}-3x+2}}{x^2}$，
令h'（x）=0，得x=1，或x=2，h（x）在（1，2）上為增函數(shù)，
在（0，1）、（2，+∞）上為減函數(shù)，
故h（x）_極小值=h（1）=1，h（x）_極大值=h（2）=3ln2-1，
如圖可得a＜1，或a＞3ln2-1．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的方程和單調區(qū)間、極值，考查方程有解的條件：注意運用轉化思想，參數(shù)分離法，結合圖象求解，考查運算能力，屬于中檔題．