Question

18．定義：如果函數(shù)f（x）在[a，b]上存在x₁，x₂（a＜x₁＜x₂＜b）滿足$f'（{x_1}）=\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$，$f'（{x_2}）=\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$，則稱函數(shù)f（x）是[a，b]上的“雙中值函數(shù)”．已知函數(shù)f（x）=x³-x²+a是[0，a]上的“雙中值函數(shù)”，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． $（\frac{1}{3}，\frac{1}{2}）$
• B． （$\frac{3}{2}，3$）
• C． （$\frac{1}{2}$，1）
• D． （$\frac{1}{3}$，1）

Answer 1

分析 根據(jù)題目給出的定義可得f′（x₁）=f′（x₂）=$\frac{f（a）-f（0）}{a}$=a²-a，即方程3x²-2x=a²-a在區(qū)間（0，a）有兩個(gè)解，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可知實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：由題意可知，∵f（x）=x³-x²+a，f′（x）=3x²-2x
在區(qū)間[0，a]存在x₁，x₂（a＜x₁＜x₂＜b），
滿足f′（x₁）=f′（x₂）=$\frac{f（a）-f（0）}{a}$=a²-a，
∵f（x）=x³-x²+a，
∴f′（x）=3x²-2x，
∴方程3x²-2x=a²-a在區(qū)間（0，a）有兩個(gè)不相等的解．
令g（x）=3x²-2x-a²+a，（0＜x＜a）
則，$\left\{\begin{array}{l}{△=4-12（-{a}^{2}+a）＞0}\\{g（0）=-{a}^{2}+a＞0}\\{g（a）=2{a}^{2}-a＞0}\\{0＜\frac{1}{3}＜a}\end{array}\right.$
解得；$\frac{1}{2}＜a＜1$．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（$\frac{1}{2}$，1）
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，二次函數(shù)的性質(zhì)與方程根的關(guān)系，屬于中檔題