Question

14．如圖，拋物線C₁：x²=2py（p＞0）與橢圓C₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一個交點為T（$\frac{4}{3}$，$\frac{1}{3}$），F(xiàn)（1，0）為橢圓C₂的右焦點．
（1）求拋物線C₁與橢圓C₂的方程；
（2）設A（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），過A作直線l交拋物線C₁于M、N兩點（M點在N點的左側），l₁、l₂分別是過M、N且與拋物線C₁相切的直線，直線l₁，l₂交于點B，直線l₁與橢圓C₂交于P、Q兩點．
（Ⅰ）求證：B點在一條定直線上，并求出這條直線的方程；
（Ⅱ）設E（0，$\frac{2}{3}$），求△EPQ的面積的最大值．并求出此時B點的坐標．

Answer 1

分析 （1）將T的坐標代入拋物線方程，運用橢圓的定義，即可求得參數(shù)p，a，b，進而得到它們的方程；
（2）（Ⅰ）求出函數(shù)y=$\frac{3}{16}$x²的導數(shù)，求得切線的斜率，運用點斜式方程可得切線方程，由A的坐標可得MN的方程，再由兩點確定直線，即可得到B所在直線；
（Ⅱ）設l₁：y=kx+b，代入橢圓方程，運用韋達定理和判別式大于0，以及弦長公式和點到直線的距離公式，求得△EPQ的面積，再結合直線和拋物線相切，運用判別式為0，可得k²=-$\frac{3}{4}$b，將募集轉化為b的式子，配方運用二次函數(shù)的最值，可得面積的最大值，再聯(lián)立直線l₁和B所在直線，可得B的坐標．

解答 解：（1）T（$\frac{4}{3}$，$\frac{1}{3}$）在拋物線上，即有$\frac{16}{9}$=2p•$\frac{1}{3}$，
解得p=$\frac{8}{3}$，則C₁：x²=$\frac{16}{3}$y；
由F（1，0），F(xiàn)'（-1，0）為橢圓C₂的焦點，T在橢圓上，
則有|TF|+|TF'|=2a=$\sqrt{\frac{1}{9}+\frac{1}{9}}$+$\sqrt{\frac{49}{9}+\frac{1}{9}}$=2$\sqrt{2}$，
即a=$\sqrt{2}$，c=1，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
故橢圓C₂：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）（Ⅰ）證明：由y=$\frac{3}{16}$x²的導數(shù)為y′=$\frac{3}{8}$x，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），B（x₀，y₀），
則l₁：y-y₁=$\frac{3}{8}$x₁（x-x₁），即3xx₁-8y-3x₁²+8y₁=0，
代入x₁²=$\frac{16}{3}$y₁，
即有3xx₁-8y-8y₁=0，同理可得l₂：3xx₂-8y-8y₂=0，
l₁和l₂交于B，即有3xx₀-8y₀-8y=0過M，N，
又MN過A（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），則有3x₀$•\frac{1}{2}$-8y₀-8×$\frac{3}{2}$=0，
即為3x₀-16y₀-24=0，B在直線3x-16y-24=0上；
（Ⅱ）設l₁：y=kx+b，代入橢圓x²+2y²=2，得：
（1+2k²）x²+4kbx+2b²-2=0，
設P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），
則△=16k²b²-8（1+2k²）（b²-1）＞0，即有b²-2k²＜1，①
x₃+x₄=-$\frac{4kb}{1+2{k}^{2}}$，x₃x₄=$\frac{2^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$．
則|PQ|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{3}+{x}_{4}）^{2}-4{x}_{3}{x}_{4}}$=2$\sqrt{2}$•$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{1+2{k}^{2}-^{2}}$•$\frac{1}{1+2{k}^{2}}$，
又E（0，$\frac{2}{3}$）到l₁的距離為d=$\frac{|b-\frac{2}{3}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
即有△EPQ的面積S=$\frac{1}{2}$d•|PQ|=$\sqrt{2}$|b-$\frac{2}{3}$|•$\sqrt{1+2{k}^{2}-^{2}}$•$\frac{1}{1+2{k}^{2}}$，②
由l₁：y=kx+b與拋物線x²=$\frac{16}{3}$y相切，得：3x²-16kx-16b=0，
∴△=16²k²+12×16b=0，
∴k²=-$\frac{3}{4}$b，代入①得：-1＜b＜0．
代入②得：S=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$•$\sqrt{1-\frac{3}{2}b-^{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$•$\sqrt{-（b+\frac{3}{4}）^{2}+\frac{7}{16}}$，
當b=-$\frac{3}{4}$時，S取得最大值，且為$\frac{\sqrt{14}}{6}$．
此時k=-$\frac{3}{4}$，則有l(wèi)₁：y=-$\frac{3}{4}$x-$\frac{3}{4}$，
聯(lián)立直線3x-16y-24=0，解得B（$\frac{4}{5}$，-$\frac{27}{20}$）．
則有△EPQ的面積的最大值為$\frac{\sqrt{14}}{6}$，此時B點的坐標為（$\frac{4}{5}$，-$\frac{27}{20}$）．

點評 本題考查拋物線和橢圓的定義、方程和性質，主要考查直線和拋物線、直線和橢圓的位置關系，注意運用導數(shù)和韋達定理、弦長公式，同時考查點到直線的距離公式，二次函數(shù)的最值運用，是一道綜合題．