Question

6．已知函數(shù)f（x）=x（x-a）（x-b）+sinx的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且曲線y=f（x）在x=0處的切線斜率為3，則a²+2b²的最小值為4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，可得ab=2，再由基本不等式計(jì)算即可得到所求最小值．

解答 解：函數(shù)f（x）=x（x-a）（x-b）+sinx的導(dǎo)函數(shù)為：
f′（x）=3x²-2（a+b）x+ab+cosx，
y=f（x）在x=0處的導(dǎo)數(shù)為ab+cos0=ab+1，
由題意可得ab+1=3，即ab=2，
則a²+2b²≥2$\sqrt{2{a}^{2}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)a=$\sqrt{2}$b時取得最小值4$\sqrt{2}$．
故答案為：4$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率，考查最值的求法，注意運(yùn)用基本不等式，以及滿足的條件：一正二定三等，屬于中檔題．