7.若關(guān)于x的不等式x2-2mx+1>0在[$\frac{1}{2}$,2)內(nèi)恒成立,則m的取值范圍(-∞,1).

分析 問題轉(zhuǎn)化為:m<$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2x}$在x∈[$\frac{1}{2}$,2)內(nèi)恒成立,令f(x)=$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2x}$,求出f(x)的單調(diào)區(qū)間,得到f(x)的最小值,從而求出m的范圍即可.

解答 解:若關(guān)于x的不等式x2-2mx+1>0在[$\frac{1}{2}$,2)內(nèi)恒成立,
只需m<$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2x}$在x∈[$\frac{1}{2}$,2)內(nèi)恒成立,
令f(x)=$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2x}$,則f′(x)=$\frac{{x}^{2}-1}{{2x}^{2}}$,
令f′(x)>0,解得:1<x<2,
令f′(x)<0,解得:$\frac{1}{2}$≤x<1,
∴f(x)在[$\frac{1}{2}$,1)遞減,在(1,2)遞增,
∴f(x)min=f(1)=1,
∴m<1,
故答案為:(-∞,1).

點評 本題考查了函數(shù)恒成立問題,考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,是一道中檔題.

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