Question

2．設函數(shù)f（x）=e^mx+x²-mx（x∈R），討論f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 對函數(shù)f（x）求導，利用導數(shù)判斷函數(shù)f′（x）在定義域R上是單調(diào)增函數(shù)，由f′（0）=0得出x＞0時，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)；x＜0時，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=e^mx+x²-mx（x∈R），
∴f′（x）=me^mx+2x-m，
∴f″（x）=m²•e^mx+2≥0恒成立，
∴函數(shù)f′（x）在定義域R上是單調(diào)增函數(shù)；
又f′（0）=m•1+0-m=0，
∴x＞0時，f′（x）＞0，f（x）是單調(diào)增函數(shù)；
x＜0時，f′（x）＜0，f（x）是單調(diào)減函數(shù)；．即f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增．

點評 本題考查了利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性問題，也考查了求導法則的應用問題，是基礎題目．