Question

13．已知函數(shù)f（x）=|x-a|．
（Ⅰ） 當(dāng)a=-2時(shí)，解不等式f（x）≥16-|2x-1|；
（Ⅱ） 若關(guān)于x的不等式f（x）≤1的解集為[0，2]，求證：f（x）+f（x+2）≥2a．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 當(dāng)a=-2時(shí)，不等式為|x+2|+|2x-1|≥16，分類討論，去掉絕對(duì)值，即可解不等式f（x）≥16-|2x-1|；
（Ⅱ） 先求出a，f（x）=|x-1|，于是只需證明f（x）+f（x+2）≥2，即證|x-1|+|x+1|≥2，利用絕對(duì)值不等式，即可證明結(jié)論．

解答 （Ⅰ） 解：當(dāng)a=-2時(shí)，不等式為|x+2|+|2x-1|≥16，
當(dāng)x≤-2時(shí)，原不等式可化為-x-2-2x+1≥16，解之得x≤-$\frac{17}{3}$；
當(dāng)-2＜x≤$\frac{1}{2}$時(shí)，原不等式可化為x+2-2x+1≥16，解之得x≤-13，不滿足，舍去；
當(dāng)x＞$\frac{1}{2}$時(shí)，原不等式可化為x+2+2x-1≥16，解之得x≥5；
不等式的解集為{x|x≤-$\frac{17}{3}$或x≥5}．（5分）
（Ⅱ）證明：f（x）≤1即|x-a|≤1，解得a-1≤x≤a+1，而f（x）≤1解集是[0，2]，
所以$\left\{\begin{array}{l}{a-1=0}\\{a+1=2}\end{array}\right.$，解得a=1，
從而f（x）=|x-1|
于是只需證明f（x）+f（x+2）≥2，
即證|x-1|+|x+1|≥2，
因?yàn)閨x-1|+|x+1|=|1-x|+|x+1|≥|1-x+x+1|=2，
所以|x-1|+|x+1|≥2，證畢．（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值不等式，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．