Question

18．函數(shù)y=a^1-x（a＞0，a≠1）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線(xiàn)mx+ny-1=0（m＞0，n＞0）上，則$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$的最小值為4．

Answer 1

分析 函數(shù)y=a^1-x（a＞0，a≠1）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A（1，1），又點(diǎn)A在直線(xiàn)mx+ny-1=0（m＞0，n＞0）上，可得m+n=1．利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：函數(shù)y=a^1-x（a＞0，a≠1）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A（1，1），
∵點(diǎn)A在直線(xiàn)mx+ny-1=0（m＞0，n＞0）上，
∴m+n=1．
則$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=（m+n）$（\frac{1}{m}+\frac{1}{n}）$=2+$\frac{n}{m}$+$\frac{m}{n}$≥2+2$\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{m}{n}}$=4，當(dāng)且僅當(dāng)m=n=$\frac{1}{2}$時(shí)取等號(hào)．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．