Question

3．過點(diǎn)A（1，0）的直線l₁與過點(diǎn)B（-1，4）的直線l₂平行，且它們之間的距離為$\sqrt{2}$．求直線l₁和l₂的方程．

Answer 1

分析 ①若l₁，l₂的斜率都存在時(shí)，設(shè)直線的斜率為k，則l₁的方程為kx-y+1=0．l₂的方程為kx-y+k+4=0．由點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合已知條件求出k，從而求出l₁和l₂的方程，若l₁、l₂的斜率不存在，求出l₁的方程和l₂的方程，由它們之間的距離判斷是否滿足條件．由此能求出滿足條件的直線方程．

解答 解：①若l₁，l₂的斜率都存在時(shí)，
設(shè)直線的斜率為k，則l₁的方程y=kx+1，即kx-y+1=0．
l₂的方程y-4=k（x+1），即kx-y+k+4=0．
在直線l₁上取點(diǎn)A（1，0），
則點(diǎn)A到直線l₂的距離d=$\frac{|k+k+4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}$，
∴k²+8k+7=0，
解得k=-1或k=-7，
∴l(xiāng)₁：x+y-1=0，l₂：x+y-3=0，或l₁：7x+y-1=0，l₂：7x+y+3=0．
②若l₁、l₂的斜率不存在，
則l₁的方程為x=1，l₂的方程為x=-1，它們之間的距離為2．不滿足條件．
∴滿足條件的直線方程有以下兩組：l₁：x+y-1=0，l₂：x+y-3=0，或l₁：7x+y-1=0，l₂：7x+y+3=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．