Question

17．已知f（x）是定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）的偶函數，在區(qū)間（-∞，0）上單調遞減，且f（-$\frac{1}{2}$）=0，若x•[f（x）+f（-x）]＜0，則x的取值范圍是（-∞，-$\frac{1}{2}$）∪（0，$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 根據函數奇偶性和單調性之間的關系進行求解即可．

解答 解：∵函數是偶函數函數，
∴不等式x•[f（x）+f（-x）]＜0等價為2x•f（x）＜0，
∵在區(qū)間（-∞，0）上單調遞減，且f（-$\frac{1}{2}$）=0，
∴在區(qū)間（0，+∞）上單調遞增，且f（$\frac{1}{2}$）=0，
則對應的圖象如圖：
當x＞0，f（x）＜0，由圖象知此時0＜x＜$\frac{1}{2}$，
當x＜0，f（x）＞0，x＜-$\frac{1}{2}$，
綜上不等式的解集為（-∞，-$\frac{1}{2}$）∪（0，$\frac{1}{2}$），
故答案為：（-∞，-$\frac{1}{2}$）∪（0，$\frac{1}{2}$）

點評 本題主要考查不等式的求解，根據函數奇偶性和單調性的關系是解決本題的關鍵．