Question

11．某商場舉行抽獎活動，規(guī)則如下：甲箱子里裝有3個白球和2個黑球，乙箱子里裝有1個白球和3個黑球，這些球除顏色外完全相同；每次抽獎都從這兩個箱子里各隨機地摸出2個球，若摸出的白球個數(shù)不少于2個，則獲獎．（每次游戲結(jié)束后將球放回原箱）
（Ⅰ）在一次游戲中，求獲獎的概率；
（Ⅱ）在三次游戲中，記獲獎次數(shù)為隨機變量X，求X的分布列及期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)在一次游戲中獲獎為事件A，利用互斥事件概率計算公式能求出獲獎的概率．
（Ⅱ）由題意可知：一次游戲中獲獎的概率為$\frac{3}{5}$，三次游戲，相當(dāng)于進行三次獨立重復(fù)試驗，X可能取的值為0，1，2，3，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)在一次游戲中獲獎為事件A，
則P（A）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{4}^{2}+{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{5}^{2}{C}_{4}^{2}}$=$\frac{3}{5}$．…（4分）
（Ⅱ）由題意可知：一次游戲中獲獎的概率為$\frac{3}{5}$，
三次游戲，相當(dāng)于進行三次獨立重復(fù)試驗，X可能取的值為0，1，2，3．…（5分）
P（X=0）=（1-$\frac{3}{5}$）³=$\frac{8}{125}$，…（6分）
P（X=1）=${C}_{3}^{1}×\frac{3}{5}×（1-\frac{3}{5}）^{2}$=$\frac{36}{125}$，…（7分）
P（X=2）=${C}_{3}^{2}×（\frac{3}{5}）^{2}（1-\frac{3}{5}）$=$\frac{54}{125}$，…（8分）
P（X=3）=（$\frac{3}{5}$）³=$\frac{27}{125}$．…（9分）
X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{8}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{27}{125}$

…（10分）
∴E（X）=$0×\frac{8}{125}+1×\frac{36}{125}+2×\frac{54}{125}+3×\frac{27}{125}$=$\frac{9}{5}$．…（12分）

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意二項分布的性質(zhì)的合理運用．