Question

18．如果有理數(shù)m可以表示成2x²-6xy+5y²（其中x、y是任意有理數(shù)）的形式，我們就稱m為“世博數(shù)”．
（1）兩個“世博數(shù)”a、b之積也是“世博數(shù)”嗎？為什么？
（2）證明：兩個“世博數(shù)”a、b（b≠0）之商也是“世博數(shù)”．

Answer 1

分析 先將有理數(shù)m=2x²-6xy+5y²變形為（x-2y）²+（x-y）²，可知“世博數(shù)”m=p²+q²（其中p、q是任意有理數(shù)）．兩個“世博數(shù)”a、b，不妨設a=j²+k²，b=r²+s²，其中j、k、r、s為任意給定的有理數(shù)．
（1）a、b之積為=（jr+ks）²+（js-kr）²是“世博數(shù)”；
（2）a、b（b≠0）之商=${（\frac{jr+ks}{{{r^2}+{s^2}}}）^2}+{（\frac{js-kr}{{{r^2}+{s^2}}}）^2}$也是“世博數(shù)”．

解答 （1）解：∵m=2x²-6xy+5y²=（x-2y）²+（x-y）²，其中x、y是有理數(shù)，
∴“世博數(shù)”m=p²+q²（其中p、q是任意有理數(shù)），只須p=x-2y，q=x-y即可．      （3分）
∴對于任意的兩個兩個“世博數(shù)”a、b，不妨設a=j²+k²，b=r²+s²，
其中j、k、r、s為任意給定的有理數(shù)，（3分）
則ab=（j²+k²）（r²+s²）=（jr+ks）²+（js-kr）²是“世博數(shù)”；（3分）
（2）證明：$\frac{a}=\frac{{{j^2}+{k^2}}}{{{r^2}+{s^2}}}=\frac{{（{j^2}+{k^2}）（{r^2}+{s^2}）}}{{{{（{r^2}+{s^2}）}^2}}}（3分）=\frac{{{{（jr+ks）}^2}+{{（js-kr）}^2}}}{{{{（{r^2}+{s^2}）}^2}}}$
=${（\frac{jr+ks}{{{r^2}+{s^2}}}）^2}+{（\frac{js-kr}{{{r^2}+{s^2}}}）^2}$也是“世博數(shù)”．       （3分）

點評 本題考查了因式分解的應用，掌握“世博數(shù)”的概念是解題的關鍵，注意“世博數(shù)”m=p²+q²（其中p、q是任意有理數(shù)）．