Question

4．已知A（1，0），B（0，1），點C單位圓上的一點，且滿足$\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$，則λx+y最大值小于2，則λ的范圍為（　�。�

• A． $（0，\sqrt{3}）$
• B． $（-\sqrt{3}，0）$
• C． $（-\sqrt{3}，\sqrt{3}]$
• D． $（-\sqrt{3}，\sqrt{3}）$

Answer 1

分析 $\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$=（x，y），點C單位圓上的一點，可得x²+y²=1．令x=cosθ，y=sinθ，θ∈[0，π）．化為λx+y=λcosθ+sinθ=$\sqrt{{λ}^{2}+1}$sin（θ+φ），由于λx+y最大值小于2，可得$\sqrt{{λ}^{2}+1}$＜2，解出即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$=（x，y），點C單位圓上的一點，
∴x²+y²=1．
令x=cosθ，y=sinθ，θ∈[0，π）．
∴λx+y=λcosθ+sinθ=$\sqrt{{λ}^{2}+1}$sin（θ+φ），
∵λx+y最大值小于2，
∴$\sqrt{{λ}^{2}+1}$＜2，
解得$-\sqrt{3}＜λ＜\sqrt{3}$．
∴λ的范圍為$（-\sqrt{3}，\sqrt{3}）$．　　
故選：D．

點評 本題考查了向量的坐標(biāo)運算、單位圓的性質(zhì)、和差公式、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．