Question

14．函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，若滿足①f（x）在D內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②存在[a，b]⊆D，使得f（x）在區(qū)間[a，b]的值域?yàn)閇a，b]，則稱f（x）為“和諧函數(shù)”．現(xiàn)有f（x）=k+$\sqrt{x+2}$是“和諧函數(shù)”，則k的取值范圍是（　�。�

• A． （-$\frac{9}{4}$，+∞）
• B． [-$\frac{9}{4}$，+∞）
• C． （-$\frac{9}{4}$，-2]
• D． （-$\frac{9}{4}$，-2）

Answer 1

分析 由“和諧函數(shù)”的定義，及函數(shù)$f（x）=k+\sqrt{x+2}$的解析式，我們可得函數(shù)滿足條件（1），即在定義域D內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，若滿足條件（2）則$f（x）=k+\sqrt{x+2}$=x在區(qū)間[-2，+∞）上有兩個(gè)根，利用換元法，可將條件轉(zhuǎn)化為t²-t-（2+k）=0有兩個(gè)非負(fù)根，結(jié)合二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可得關(guān)于k的不等式組，進(jìn)而求出k的范圍．

解答 解：∵$f（x）=k+\sqrt{x+2}$在定義域D=[-2，+∞）上為增函數(shù)
故滿足條件（1）
若存在[a，b]⊆D使f（x）在x∈[a，b]值域?yàn)閇a，b]，
則$f（x）=k+\sqrt{x+2}$=x在區(qū)間[-2，+∞）上有兩個(gè)根
令t=$\sqrt{x+2}$（t≥0）
則原方程可化為t²-t-（2+k）=0有兩個(gè)非負(fù)根
即$\left\{\begin{array}{l}△=1+4（2+k）＞0\\ 2+k≤0\end{array}\right.$
解得-$\frac{9}{4}$＜k≤-2
故k的范圍是$（-\frac{9}{4}，-2]$
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是單調(diào)性的性質(zhì)，其中正確理解新定義“閉函數(shù)”中的兩個(gè)條件的意義，是解答本題的關(guān)鍵．