Question

16．若數(shù)列{a_n}，{b_n}，{c_n}滿足c_n=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}，n是奇數(shù)}\\{_{n}，n是偶數(shù)}\end{array}$，則稱數(shù)列{c_n}是數(shù)列{a_n}和{b_n}的調(diào)和數(shù)列．已知數(shù)列{a_n}的通項為a_n=2ⁿ+n，數(shù)列{b_n}滿足$\left\{\begin{array}{l}{a_n}={b_n}，n=1\\{a_{n-1}}+{a_n}=-{b_n}，n≥2\end{array}$，若數(shù)列{a_n}和{b_n}的調(diào)和數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n，則T₈+T₉=-199．

Answer 1

分析 先求出b_n=$\left\{\begin{array}{l}{3，n=1}\\{-3•{2}^{n-1}-2n+1，n≥2}\end{array}\right.$，再求出c_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{n}+n，n是奇數(shù)}\\{-3•{2}^{n-1}-2n+1，n是偶數(shù)}\end{array}\right.$，由此能求出T₈+T₉的值．

解答 解：∵c_n=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}，n是奇數(shù)}\\{_{n}，n是偶數(shù)}\end{array}$，且a_n=2ⁿ+n，數(shù)列{b_n}滿足$\left\{\begin{array}{l}{a_n}={b_n}，n=1\\{a_{n-1}}+{a_n}=-{b_n}，n≥2\end{array}$，
∴b_n=$\left\{\begin{array}{l}{3，n=1}\\{-3•{2}^{n-1}-2n+1，n≥2}\end{array}\right.$，
∴c_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{n}+n，n是奇數(shù)}\\{-3•{2}^{n-1}-2n+1，n是偶數(shù)}\end{array}\right.$，
當n是偶數(shù)時，T_n=（2+1）+（2³+3）+（2⁵+5）+…+[2^n-1+（n-1）]-（3•2+3）-（3•2³+7）-…-[3•2^n-1+（2n-1）]
=$\frac{2}{3}$（2ⁿ-1）+$\frac{{n}^{2}}{4}$-[${2}^{n+1}-2+\frac{n（n+1）}{2}$]
=-$\frac{1}{3}•{2}^{n+2}-\frac{{n}^{2}+2n}{4}+\frac{4}{3}$，
∴T₈=-$\frac{1}{3}×{2}^{10}-\frac{{8}^{2}+2×8}{4}+\frac{4}{3}$=-360，
T₉=T₈+a₉=-360+2⁹+9=161，
∴T₈+T₉=-360+161=-199．
故答案為：-199．

點評 本題考查數(shù)列的前8項和與前9項和的和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意項數(shù)為奇數(shù)和項數(shù)為偶數(shù)的不同情況的分類討論和數(shù)列性質的合理運用．