Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，公差d=2，且S₅=4a₃+6．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設數(shù)列{

bn

an

}是首項為1，公比為c的等比數(shù)列，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件利用等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式求出首項和公差，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）由已知條件得bn=an•cn-1=2n•cn-1．當c-1時，b_n=2n．Tn=

n(2+2n)

2

=n（n+1）=n²+n；當c≠1時，利用錯位相減法能求出數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

解答： （本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）因為公差d=2，且S₅=4a₃+6，
所以5a₁+

5×4

2

×2=4[a1+(3-1)×2]+6．…（2分）
解得a₁=2．…（4分）
所以等差數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=2n．…（5分）
（Ⅱ）因為數(shù)列{

bn

an

}是首項為1，公比為c的等比數(shù)列，
所以

bn

an

=cn-1．…（6分）
所以bn=an•cn-1=2n•cn-1．…（7分）
（1）當c-1時，b_n=2n．…（8分）
所以Tn=

n(2+2n)

2

=n（n+1）=n²+n．…（9分）
（2）當c≠1時，Tn=2•c0+4•c+6•c2+…+2(n-1)•cn-2+2n•c^n-1，①…（9分）
cTn=2c+4c2+6c3+…+2(n-1)•cn-1+2n•cn，②…（10分）
①-②得(1-c)Tn=2c0+2c1+2c2+…+2cn-1-2n•cⁿ …（11分）
=

2(1-cn)

1-c

-2n•cn，…（12分）
∴Tn=

2(1-cn)

(1-c)2

-

2ncn

1-c

．…（13分）

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．