Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=2，a_n+1=3S_n
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=

n   當(dāng)n為奇數(shù) an 當(dāng)n為偶數(shù)

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出數(shù)列{a_n}（n≥2，n∈Z）是以4為公比的等比數(shù)列，由此能求出a_n=

2，n=1 6•4n-2，n≥2

．
（2）由b_n=

n   當(dāng)n為奇數(shù) an 當(dāng)n為偶數(shù)

，知當(dāng)n=2k+1，k∈N^*時(shí)，T_n=[1+3+5+…+（2k+1）]+（a₂+a₄+a₆+…+a_2k）
=（k+1）²+（6+6•4²+6•4⁴+…+6•4^2k-2）；當(dāng)n=2k，k∈N^*時(shí)，T_n=[1+3+5+…+（2k-1）]+（a₂+a₄+a₆+…+a_2k）=

k(1+2k-1)

2

+（6+6•4²+6•4⁴+…+6•4^2k-2），由此能求出結(jié)果．

解答： 解：（1）數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=2，a_n+1=3S_n，
由a_n+1=3S_n①，
得a_n+2=3S_n+1②，
②-①得：a_n+2-a_n+1=3a_n+1
∴

an+2

an+1

=4
∴數(shù)列{a_n}（n≥2，n∈Z）是以4為公比的等比數(shù)列
其中，a₂=3S₁=3a₁=6
∴a_n=

2，n=1 6•4n-2，n≥2

．
（2）∵b_n=

n   當(dāng)n為奇數(shù) an 當(dāng)n為偶數(shù)

，
∴當(dāng)n=2k+1，k∈N^*時(shí)，
T_n=[1+3+5+…+（2k+1）]+（a₂+a₄+a₆+…+a_2k）
=（k+1）²+（6+6•4²+6•4⁴+…+6•4^2k-2）
=（k+1）²+

6(1-16k)

1-16

=

(n+1)2

4

+

6(1-16 n-1 2 )

1-16

=

(n+1)2

4

-

2

5

（1-4^n-1）．
當(dāng)n=2k，k∈N^*時(shí)，
T_n=[1+3+5+…+（2k-1）]+（a₂+a₄+a₆+…+a_2k）
=

k(1+2k-1)

2

+（6+6•4²+6•4⁴+…+6•4^2k-2）
=k²+

6(1-16k)

1-16

=

n2

4

-

2

5

(1-4n)．
∴Tn=

(n+1)2 4 - 2 5 (1-4n-1)，n為奇數(shù) n2 4 - 2 5 (1-4n)，n為偶數(shù)

．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前m項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的合理運(yùn)用．