Question

1．已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長為2$\sqrt{5}$，它的一個頂點恰好是拋物線x²=4y的焦點．
（I）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）過橢圓C的右焦點F作直線l交橢圓C于A，B兩點，交y軸于M點，若$\overrightarrow{MA}$-λ₁$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{MB}$-λ₂$\overrightarrow{BF}$=$\overrightarrow{0}$，求證：$\frac{1}{2}$（λ₁+λ₂）為定值．

Answer 1

分析 （I）設橢圓C的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，（a＞b＞0），拋物線x²=4y的焦點為（0，1）．可得b=1，又2a=2$\sqrt{5}$，可得a．即可得出橢圓C的標準方程．
（II）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（0，y₀）．F（2，0）．由$\overrightarrow{MA}$-λ₁$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{0}$，可得x₁=$\frac{2{λ}_{1}}{1+{λ}_{1}}$，y₁=$\frac{{y}_{0}}{1+{λ}_{1}}$．代入橢圓方程可得：${λ}_{1}^{2}+10{λ}_{1}$+5-5${y}_{0}^{2}$=0，由$\overrightarrow{MB}$-λ₂$\overrightarrow{BF}$=$\overrightarrow{0}$，同理可得：${λ}_{2}^{2}+10{λ}_{2}$+5-5${y}_{0}^{2}$=0，可得λ₁，λ₂是一元二次方程：x²+10x+5-5${y}_{0}^{2}$=0的兩個實數(shù)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可證明．

解答 （I）解：設橢圓C的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，（a＞b＞0），
拋物線x²=4y的焦點為（0，1），∴b=1，
又2a=2$\sqrt{5}$，∴a=$\sqrt{5}$．
∴橢圓C的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{5}+{y}^{2}$=1．
（II）證明：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（0，y₀）．F（2，0）．
∵$\overrightarrow{MA}$-λ₁$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{0}$，∴（x₁，y₁-y₀）=λ₁（2-x₁，-y₁），x₁=$\frac{2{λ}_{1}}{1+{λ}_{1}}$，y₁=$\frac{{y}_{0}}{1+{λ}_{1}}$．
代入橢圓方程可得：$\frac{1}{5}（\frac{2{λ}_{1}}{1+{λ}_{1}}）^{2}$+$（\frac{{y}_{0}}{1+{λ}_{1}}）^{2}$=1，化為：${λ}_{1}^{2}+10{λ}_{1}$+5-5${y}_{0}^{2}$=0，
由$\overrightarrow{MB}$-λ₂$\overrightarrow{BF}$=$\overrightarrow{0}$，同理可得：${λ}_{2}^{2}+10{λ}_{2}$+5-5${y}_{0}^{2}$=0，
∴λ₁，λ₂是一元二次方程：x²+10x+5-5${y}_{0}^{2}$=0的兩個實數(shù)根，
∴λ₁+λ₂=-10，
∴$\frac{1}{2}$（λ₁+λ₂）=-5為定值．

點評 本題考查了橢圓與拋物線的標準方程及其性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、向量的坐標運算，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．