Question

已知

a

=（

3

sinx，cosx+sinx），

b

=（2cosx，sinx-cosx），f（x）=

a

•

b

．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當x∈[

5π

24

，

5π

12

]時，對任意t∈R，不等式mt²+mt+3≥f（x）恒成立，求實數(shù)的m取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,平面向量數(shù)量積的運算

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）首先根據(jù)向量的坐標運算求出函數(shù)的解析式，進一步變函數(shù)為正弦型函數(shù)，最后求出單調(diào)區(qū)間．
（2）根據(jù)函數(shù)與的定義域求出函數(shù)的值域，進一步利用恒成立問題，利用分類討論的思想求出m的取值范圍．

解答： 解：（1）已知，

a

=（

3

sinx，cosx+sinx），

b

=（2cosx，sinx-cosx），
則：f（x）=

a

•

b

=2

3

sinxcosx+(cosx+sinx)（sinx-cosx）
=

3

sin2x-cos2x
=2sin(2x-

π

6

)，
令2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），
解得：-

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ，
所以：函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ]（k∈Z）．
（2）當x∈[

5π

24

，

5π

12

]時，

π

4

≤2x-

π

6

≤

2π

3

，

2

≤2sin(2x-

π

6

)≤2，
對任意t∈R，不等式mt²+mt+3≥f（x）恒成立．
只需滿足：mt²+mt+3≥f（x）_max成立即可．
即mt²+mt+1≥0即可．
①當m=0時，恒成立
②當m≠0時，只需滿足

m＞0 △≤0

解得：0＜m≤4
綜合所得：0≤m≤4．

點評：本題考查的知識要點：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，向量的坐標運算，正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，恒成立問題的應用．屬于基礎題型．