Question

已知函數(shù)f（x）=log_a

x-5

x+5

（a＞0且a≠1）．
（1）判定f（x）在x∈（-∞，-5）上的單調(diào)性，并證明；
（2）設(shè)g（x）=1+log_a（x-3），若方程f（x）=g（x）有實(shí)根，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)法判斷內(nèi)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”的原則，可判定f（x）在x∈（-∞，-5）上的單調(diào)性；
（2）通過(guò)g（x）=1+log_a（x-3），求出方程f（x）=g（x）的表達(dá)式，利用方程有實(shí)根，求出函數(shù)的定義域；
法一：求出方程中a的表達(dá)式，通過(guò)變形，利用基本不等式求出a的取值范圍．
法二：轉(zhuǎn)化方程為二次函數(shù)，通過(guò)二次方程根的分布，求出a取值范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）=log_a

x-5

x+5

在（-∞，-5）上為減函數(shù)，
當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）=log_a

x-5

x+5

在（-∞，-5）上為增函數(shù)，
理由如下：
令t=

x-5

x+5

，則t′=

10

(x+5)2

＞0恒成立，
故t=

x-5

x+5

在（-∞，-5）上為增函數(shù)，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，y=log_at為減函數(shù)，
故函數(shù)f（x）=log_a

x-5

x+5

在（-∞，-5）上為減函數(shù)，
當(dāng)a＞1時(shí)，y=log_at為增函數(shù)，
故函數(shù)f（x）=log_a

x-5

x+5

在（-∞，-5）上為增函數(shù)，
（2）若f（x）=g（x）有實(shí)根，即：log_a

x-5

x+5

=1+log_a（x-3）有實(shí)根．
∴由

x-5

x+5

＞0且x-3＞0得：x＞5．
∴即方程

x-5

x+5

=a（x-3）有大于5的實(shí)根…（10分）
（法1）∵x＞5，
∴a=

x-5

(x-3)(x+5)

=

x-5

(x-5+2)(x-5+10)

=

x-5

(x-5)2+12(x-5)+20

=

1

x-5+ 20 x-5 +12

≤

1

2 20 +12

=

3- 5

16

，
∴a∈（0，

3- 5

16

]．…（16分）
（法2）（實(shí)根分布）

x-5

x+5

=a（x-3）…（1）有大于5的實(shí)根，
方程（1）化為：ax²+（2a-1）x-15a+5=0．
∵a＞0，
∴△=64a²-24a+1≥0．
①有一根大于5，f（5）＜0⇒a∈ϕ．
②兩根均大于5，

△≥0 f(5)＞0 1-2a 2a ＞5

⇒a∈（0，

3- 5

16

]．…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查函數(shù)的奇偶性的判斷，注意函數(shù)的定義域；函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．一定注意函數(shù)的定義域首先考慮的原則．