Question

已知f(x)是定義在集合M上的函數(shù)．若區(qū)間D⊆M，且對任意x0∈D，均有f(x0)∈D，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上封閉．

(1)判斷f(x)＝x－1在區(qū)間[－2,1]上是否封閉，并說明理由；

(2)若函數(shù)g(x)＝在區(qū)間[3,10]上封閉，求實數(shù)a的取值范圍；

(3)若函數(shù)h(x)＝x3－3x在區(qū)間[a，b](a，b∈Z，且a≠b)上封閉，求a，b的值．

 

Answer 1

（1）函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2,1]上不是封閉的

（2）[3,31]

（3）a＝－2，b＝2

【解析】【解析】
(1)因為函數(shù)f(x)＝x－1在區(qū)間[－2,1]上單調遞增，

所以當x∈[－2,1]時，f(x)的值域為[－3,0]．

而[－3,0]?[－2,1]，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2,1]上不是封閉的．

(2)因為g(x)＝＝3＋.

①當a＝3時，函數(shù)g(x)＝3，顯然{3}⊆[3,10]，故a＝3滿足題意；

②當a>3時，在區(qū)間[3,10]上，函數(shù)g(x)單調遞減，此時g(x)的值域為.

由⊆[3,10]

得，解得3≤a≤31，

故3<a≤31；

③當a<3時，在區(qū)間[3,10]上，有g(x)＝3＋<3，不合題意．

綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是[3,31]．

(3)因為h(x)＝x3－3x，

所以h′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)．

因為當x<－1或x>1時，h′(x)>0；

當x＝－1或x＝1時，h′(x)＝0；

當－1<x<1時，h′(x)<0，

所以函數(shù)h(x)在區(qū)間(－∞，－1)上單調遞增，在區(qū)間(－1,1)上單調遞減，在區(qū)間(1，＋∞)上單調遞增．

從而h(x)在x＝－1處取得極大值2，在x＝1處取得極小值－2.

由題意知

即

解得

因為a<b，所以－2≤a≤0,0≤b≤2.

又a，b∈Z，故a只可能�。�2，－1,0，b只可能取0,1,2.

①當a＝－2時，因為b>0，故由h(－1)＝2得b≥2，因此b＝2.經(jīng)檢驗，a＝－2，b＝2符合題意；

②當a＝－1時，由h(－1)＝2，得b＝2，此時h(1)＝－2∉[－1,2]，不符合題意；

③當a＝0時，顯然不符合題意．

綜上所述，a＝－2，b＝2.