Question

15．已知曲線C：y=f（x）=-x³+3x²-4，x∈R，則曲線C在點(diǎn)P（0，-4）處的切線方程為y=-4；曲線C過點(diǎn)P（0，-4）的切線方程為y=-4或y=$\frac{9}{4}$x-4．

Answer 1

分析 求出導(dǎo)數(shù)，求出在點(diǎn)P（0，-4）處的切線的斜率，由點(diǎn)斜式方程得到切線方程；求出導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)（m，n），求出切線的斜率，求得切線方程代入點(diǎn)P解方程可得m，即可得到切線的方程．

解答 解：y=f（x）=-x³+3x²-4的導(dǎo)數(shù)為y′=-3x²+6x，
則在點(diǎn)P（0，-4）處的切線的斜率k=0，
故切線方程為y+4=0（x-0），
即為y+4=0；
設(shè)切點(diǎn)為（m，n），則切線的斜率為k=-3m²+6m，
切線方程為y-n=（-3m²+6m）（x-m），
代入（0，-4）可得-4-n=（-m）（-3m²+6m），
又n=-m³+3m²-4，
解方程可得m=0或$\frac{3}{2}$，
可得切線的斜率為0或$\frac{9}{4}$．
即有切線方程為y=-4或y=$\frac{9}{4}$x-4．
故答案為：y=-4，y=-4或y=$\frac{9}{4}$x-4．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：曲線在該點(diǎn)處切線的斜率，考查運(yùn)算能力，確定切點(diǎn)和正確求導(dǎo)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題和易錯(cuò)題．