Question

17．設(shè)函數(shù)f（x）=|2x-1|-|x+$\frac{3}{2}$|．
（1）解不等式f（x）＜0；
（2）若?x₀∈R，使得f（x₀）+3m²＜5m，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)討論x的范圍，解不等式，取并集即可；（2）求出f（x）的最小值，得到關(guān)于m的不等式，解出即可．

解答 解：（1）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{5}{2}-x，x＜-\frac{3}{2}}\\{-3x-\frac{1}{2}，-\frac{3}{2}≤x≤\frac{1}{2}}\\{x-\frac{5}{2}，x＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
當(dāng)x＜-$\frac{3}{2}$時(shí)，即$\frac{5}{2}$-x＜0，無(wú)解，
當(dāng)-$\frac{3}{2}$≤x≤$\frac{1}{2}$時(shí)，即-3x-$\frac{1}{2}$＜0，解得：-$\frac{1}{6}$＜x≤$\frac{1}{2}$，
當(dāng)x＞$\frac{1}{2}$時(shí)，即x-$\frac{5}{2}$＜0，解得：$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{5}{2}$，
綜上所述，-$\frac{1}{6}$＜x＜$\frac{5}{2}$．
（2）∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{5}{2}-x，x＜-\frac{3}{2}}\\{-3x-\frac{1}{2}，-\frac{3}{2}≤x≤\frac{1}{2}}\\{x-\frac{5}{2}，x＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴當(dāng)x∈（-∞，$\frac{1}{2}$）時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（$\frac{1}{2}$，+∞）時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）_min=f（$\frac{1}{2}$）=-2，
∴只需5m-3m²＞-2，解得：-$\frac{1}{3}$＜m＜2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解絕對(duì)值不等式問(wèn)題，考查分類(lèi)討論思想，是一道中檔題．