Question

12．已知一個幾何體的三視圖如圖所示，若該幾何體外接球的表面積為8π，則h=（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 由已知中的三視圖，可知該幾何體是一個以俯視圖為底面的三棱錐，通過尺寸計算，底面是等腰直角三角形，采用“補形還原法”，該幾何體是底面邊長為$\sqrt{2}$的正方形，高為h的長方體．根據(jù)長方體外接球直徑等于長方體對角線．即可求出答案．

解答 解：由已知中的三視圖，可知該幾何體是底面為等腰直角三角形的直三棱錐，
采用“補形還原法”，該幾何體是底面邊長為$\sqrt{2}$的正方形，
高為h的長方體．根據(jù)長方體的外接球的直徑是它的對角線，即2R=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}+{c}^{2}}$
由題意：外接球的表面積為8π，
∴R=$\sqrt{2}$
又∵2R=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}+{c}^{2}}$
∴$2\sqrt{2}=\sqrt{2+2+{h}^{2}}$
∴解得：h=2
故選D．

點評 本題考查的知識點是三視圖的認識和球的結(jié)合，解決本題的關(guān)鍵是知道該幾何體的形狀，直棱柱類型，可以采用“補形還原法”補形成我們熟悉的圖形來求解．屬于基礎(chǔ)題．