Question

8．設(shè)向量$\overrightarrow{a}$=（cosx，sinx），$\overrightarrow$=（1，x），記f（x）為向量$\overrightarrow$在$\overrightarrow{a}$上投影的數(shù)量，已知x∈（-π，π），則f（x）為（　　）

• A． 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)
• B． 偶函數(shù)，且有兩個零點
• C． 奇函數(shù)，且有三個零點
• D． 偶函數(shù)，且只有一個極值點

Answer 1

分析 由已知求出|$\overrightarrow{a}$|=1，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=cosx+xsinx$，代入投影數(shù)量公式得到f（x），求導(dǎo)后再借助于函數(shù)零點存在性定理得答案．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{a}$=（cosx，sinx），$\overrightarrow$=（1，x），
∴|$\overrightarrow{a}$|=1，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=cosx+xsinx$，
∴向量$\overrightarrow$在$\overrightarrow{a}$上投影的數(shù)量f（x）=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|}=xsinx+cosx$．
∵x∈（-π，π），且f（-x）=-xsin（-x）+cos（-x）=xsinx+cosx=f（x），
∴f（x）為偶函數(shù)；
由f（x）=xsinx+cosx，得：
f′（x）=sinx+xcosx-sinx=xcosx，
當x∈（0，$\frac{π}{2}$）時，f′（x）＞0，此時函數(shù)為增函數(shù)，
當x∈（$\frac{π}{2}，π$）時，f′（x）＜0，此時函數(shù)為減函數(shù)．
∵f（0）=1＞0，且f（π）=-1＜0，
∴函數(shù)f（x）=xsinx+cosx在[0，π）上僅有一個零點．
由偶函數(shù)的對稱性可知，在（-π，0）上f（x）=xsinx+cosx也有一個零點．
∴f（x）=xsinx+cosx是偶函數(shù)，且有兩個零點．
故選：B．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查了向量在向量方向上投影的數(shù)量的求法，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，是中檔題．