Question

12．已知定義在R上的函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤$\frac{π}{2}$）的最小值為-2，其相鄰兩條對(duì)稱軸距離為$\frac{π}{2}$，函數(shù)圖象向左平移$\frac{π}{12}$單位后所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若f（$\frac{{x}_{0}}{2}$）=-$\frac{3}{8}$，且x₀∈[$\frac{π}{2}，π$]，求cos（x₀+$\frac{π}{6}$）的值．

Answer 1

分析 （1）由最值求得A，由周期性求得ω，再根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的奇偶性，求得φ，可得函數(shù)的解析式．
（2）由條件求得sin（x₀+$\frac{π}{3}$）和cos（x₀+$\frac{π}{3}$）的值，再利用兩角差的余弦公式，求得cos（x₀+$\frac{π}{6}$）=cos（x₀+$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{6}$）的值．

解答 解：（1）根據(jù)函數(shù)的最小值為-2，可得A=2，
再根據(jù)其相鄰兩條對(duì)稱軸距離為$\frac{π}{2}$，可得$\frac{1}{2}•\frac{2π}{ω}$=$\frac{π}{2}$，∴ω=2，
故函數(shù)f（x）=2sin（2x+φ）．
結(jié)合函數(shù)圖象向左平移$\frac{π}{12}$單位后，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)y=2sin[2（x+$\frac{π}{12}$）+φ]
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$+φ）為偶函數(shù)，
∴$\frac{π}{6}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，即φ=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z．
結(jié)合，|φ|≤$\frac{π}{2}$，可得φ=$\frac{π}{3}$，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
（2）若f（$\frac{{x}_{0}}{2}$）=2sin（x₀+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{3}{8}$，∴sin（x₀+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{3}{16}$．
∵x₀∈[$\frac{π}{2}，π$]，∴（x₀+$\frac{π}{3}$）∈（π，$\frac{4π}{3}$]，∴cos（x₀+$\frac{π}{3}$）=-$\sqrt{{1-sin}^{2}{（x}_{0}+\frac{π}{3}）}$=-$\frac{\sqrt{247}}{16}$．
∴cos（x₀+$\frac{π}{6}$）=cos（x₀+$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{6}$）=cos（x₀+$\frac{π}{3}$）•cos$\frac{π}{6}$+sin（x₀+$\frac{π}{3}$）•sin$\frac{π}{6}$
=-$\frac{\sqrt{741}}{32}$-$\frac{3}{32}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的奇偶性，兩角和差的余弦公式的應(yīng)用，屬于中檔題．