【題目】如圖，四棱錐中，，平面底面，，，是中點(diǎn).

（1）證明：直線平面；

（2）點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求二面角的大小.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）取中點(diǎn)，連接，，證出，利用線面平行的判定定理即可證出.

（2）不妨設(shè)，則，，取中點(diǎn)，得，，以為原點(diǎn)，以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量與平面的一個(gè)法向量，利用空間向量的數(shù)量積即可求解.

證明：（1）如圖，取中點(diǎn)，連接，，

因?yàn)?/span>為中位線，

所以且，

又因?yàn)?/span>且，

所以且，

所以四邊形為平行四邊形，所以，

又因?yàn)?/span>平面，平面，

所以平面.

（2）不妨設(shè)，則，，取中點(diǎn)，

所以，

又因?yàn)?/span>，，

所以四邊形為矩形，

所以，，

平面平面，所以平面，

，

又因?yàn)槿切?/span>為正三角形，

所以，

故如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

可得，，，，，，

所以，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，可取，

易知平面的一個(gè)法向量，

所以，又知二面角為銳角，

則二面角的大小為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】隨著移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展，與餐飲美食相關(guān)的手機(jī)APP軟件層出不窮.現(xiàn)從某市使用A和B兩款訂餐軟件的商家中分別隨機(jī)抽取100個(gè)商家，對(duì)它們的“平均送達(dá)時(shí)間”進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到頻率分布直方圖如下.

（1）已知抽取的100個(gè)使用A款訂餐軟件的商家中，甲商家的“平均送達(dá)時(shí)間”為18分鐘。現(xiàn)從使用A款訂餐軟件的商家中“平均送達(dá)時(shí)間”不超過(guò)20分鐘的商家中隨機(jī)抽取3個(gè)商家進(jìn)行市場(chǎng)調(diào)研，求甲商家被抽到的概率；

（2）試估計(jì)該市使用A款訂餐軟件的商家的“平均送達(dá)時(shí)間”的眾數(shù)及平均數(shù)；

（3）如果以“平均送達(dá)時(shí)間”的平均數(shù)作為決策依據(jù)，從A和B兩款訂餐軟件中選擇一款訂餐，你會(huì)選擇哪款？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】以昆明、玉溪為中心的滇中地區(qū)，冬無(wú)嚴(yán)寒、夏無(wú)酷暑，世界上主要的鮮切花品種在這里都能實(shí)現(xiàn)周年規(guī)模化生產(chǎn).某鮮花批發(fā)店每天早晨以每支2元的價(jià)格從鮮切花生產(chǎn)基地購(gòu)入某種玫瑰，經(jīng)過(guò)保鮮加工后全部裝箱（每箱500支，平均每支玫瑰的保鮮加工成本為1元），然后以每箱2000元的價(jià)格整箱出售.由于鮮花的保鮮特點(diǎn)，制定了如下促銷(xiāo)策略：若每天下午3點(diǎn)以前所購(gòu)進(jìn)的玫瑰沒(méi)有售完，則對(duì)未售出的玫瑰以每箱1200元的價(jià)格降價(jià)處理.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，降價(jià)后能夠把剩余玫瑰全部處理完畢，且當(dāng)天不再購(gòu)進(jìn)該種玫瑰，由于庫(kù)房限制每天最多加工6箱.

（1）若某天該鮮花批發(fā)店購(gòu)入并加工了6箱該種玫瑰，在下午3點(diǎn)以前售出4箱，且被6位不同的顧客購(gòu)買(mǎi).現(xiàn)從這6位顧客中隨機(jī)選取2人贈(zèng)送優(yōu)惠卡，則恰好一位是以2000元價(jià)格購(gòu)買(mǎi)的顧客，另一位是以1200元價(jià)格購(gòu)買(mǎi)的顧客的概率是多少？

（2）該鮮花批發(fā)店統(tǒng)計(jì)了100天內(nèi)該種玫瑰在每天下午3點(diǎn)以前的銷(xiāo)售量（單位：箱），統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示（視頻率為概率）：

/箱

4

5

6

頻數(shù)

30

①估計(jì)接下來(lái)的一個(gè)月（30天）內(nèi)該種玫瑰每天下午3點(diǎn)以前的銷(xiāo)售量不少于5箱的天數(shù)是多少？

②若批發(fā)店每天在購(gòu)進(jìn)5箱數(shù)量的玫瑰時(shí)所獲得的平均利潤(rùn)最大（不考慮其他成本），求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，離心率，過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）是否存在直線，使得，若存在，求出直線的方程；若不存在，說(shuō)明理由；

（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若直線的斜率存在，且為中點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】近幾年來(lái)我國(guó)電子商務(wù)行業(yè)發(fā)展迅猛，2016年元旦期間，某購(gòu)物平臺(tái)的銷(xiāo)售業(yè)績(jī)高達(dá)918億人民幣，與此同時(shí)，相關(guān)管理部門(mén)推出了針對(duì)電商的商品和服務(wù)的評(píng)價(jià)體系，現(xiàn)從評(píng)價(jià)系統(tǒng)中選出200次成功交易，并對(duì)其評(píng)價(jià)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，對(duì)商品的好評(píng)率為0.6，對(duì)服務(wù)的好評(píng)率為0.75，其中對(duì)商品和服務(wù)都做出好評(píng)的交易為80次.

（1）完成商品和服務(wù)評(píng)價(jià)的列聯(lián)表，并說(shuō)明是否可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下，認(rèn)為商品好評(píng)與服務(wù)好評(píng)有關(guān)？

（2）若將頻率視為概率，某人在該購(gòu)物平臺(tái)上進(jìn)行的5次購(gòu)物中，設(shè)對(duì)商品和服務(wù)全好評(píng)的次數(shù)為隨機(jī)變量.

①求對(duì)商品和服務(wù)全好評(píng)的次數(shù)的分布列（概率用組合數(shù)算式表示）；

②求的數(shù)學(xué)期望和方差.

參考數(shù)據(jù)及公式如下：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

（，其中）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在直角梯形中，，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，以為折痕把折起，當(dāng)幾何體的的體積最大時(shí)，則下列命題中正確的個(gè)數(shù)是（ ）

①

②∥平面

③與平面所成的角等于與平面所成的角

④與所成的角等于與所成的角

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

(1)討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；

(2)已知函數(shù)，若，且函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】沙漏是古代的一種計(jì)時(shí)裝置，它由兩個(gè)形狀完全相同的容器和一個(gè)狹窄的連接管道組成，開(kāi)始時(shí)細(xì)沙全部在上部容器中，細(xì)沙通過(guò)連接管道全部流到下部容器所需要的時(shí)間稱為該沙漏的一個(gè)沙時(shí).如圖，某沙漏由上下兩個(gè)圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為8cm，細(xì)沙全部在上部時(shí)，其高度為圓錐高度的（細(xì)管長(zhǎng)度忽略不計(jì)）.假設(shè)該沙漏每秒鐘漏下的沙，且細(xì)沙全部漏入下部后，恰好堆成一個(gè)蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆.以下結(jié)論正確的是（ ）

A.沙漏中的細(xì)沙體積為

B.沙漏的體積是

C.細(xì)沙全部漏入下部后此錐形沙堆的高度約為2.4cm

D.該沙漏的一個(gè)沙時(shí)大約是1985秒（）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知由n（n∈N*）個(gè)正整數(shù)構(gòu)成的集合A＝{a1，a2，…，an}（a1＜a2＜…＜an，n≥3），記SA＝a1+a2+…+an，對(duì)于任意不大于SA的正整數(shù)m，均存在集合A的一個(gè)子集，使得該子集的所有元素之和等于m.

（1）求a1，a2的值；

（2）求證：“a1，a2，…，an成等差數(shù)列”的充要條件是“”；

（3）若SA＝2020，求n的最小值，并指出n取最小值時(shí)an的最大值.

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