Question

已知函數(shù)f（x）=|2x+1|-|x-3|
（1）解不等式f（x）≤4；
（2）對(duì)任意x∈R都有f（x）-a≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）=

-x-4 ， x＜- 1 2 3x-2  ， - 1 2 ≤x＜3 x+4  ，x≥3

，故由f（x）≤4可得三個(gè)不等式組，求得每個(gè)不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（2）由題意可得f_min（x）≥a，由（1）可得f_min（x）=f（-

1

2

）=-

7

2

，從而求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=|2x+1|-|x-3|=

-x-4 ， x＜- 1 2 3x-2  ， - 1 2 ≤x＜3 x+4  ，x≥3

，
故由f（x）≤4可得

-x-4≤4 x＜- 1 2

①，或 

3x-2≤4 - 1 2 ≤x＜3

 ②，或 

x+4≤4 x≥3

③．
解①求得-8≤x＜-

1

2

，解②求得-

1

2

≤x≤2，解③求得x∈∅．
綜上可得，不等式的解集為[-8，2]．
（2）∵對(duì)任意x∈R都有f（x）-a≥0恒成立，∴f_min（x）≥a．
由（1）可得，f_min（x）=f（-

1

2

）=-

7

2

，∴a≤-

7

2

，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，-

7

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的恒成立問題，絕對(duì)值不等式的解法，關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值，化為與之等價(jià)的不等式組來解，體現(xiàn)了分類討論、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)檔題．