Question

在以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形OAB的外側(cè)作兩個(gè)正方形OAPQ和OBRS，設(shè)QS的中點(diǎn)為M（本題所有的點(diǎn)均在同一個(gè)平面內(nèi)，如圖所示），取直角的兩邊為坐標(biāo)軸，試證明：
（1）OM⊥AB；
（2）三條直線OM，BP，AR通過同一點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系,直線的斜率,三點(diǎn)共線

專題：直線與圓

分析：（1）由坐標(biāo)系可設(shè)A（a，0），B（0，b），進(jìn)而肯定的S（-b，0），Q（0，-a），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得M坐標(biāo)，可得AB和OM的斜率，可判垂直關(guān)系；
（2）分別可得三直線的方程，聯(lián)立其中兩個(gè)解交點(diǎn)，驗(yàn)證交點(diǎn)也在第三直線即可．

解答： 解：（1）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA、OB分別為x、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)A（a，0），B（0，b），則S（-b，0），Q（0，-a），
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得M（-

b

2

，-

a

2

），
∴AB的斜率為

b-0

0-a

=-

b

a

，OM的斜率

- a 2

- b 2

=

a

b

，
∵-

b

a

•

a

b

=-1，∴OM⊥AB；
（2）可得P（a，-a），R（-b，b），
∴OM的方程為：y=

a

b

x，①
BP的斜率為

b+a

0-a

=-

a+b

a

，故方程為y=-

a+b

a

x+b，②
聯(lián)立①②可解得x=

a2+ab+b2

ab2

，y=

a2+ab+b2

b3

，
同理可得直線AR的方程為y=-

b

a+b

（x-a），③
經(jīng)驗(yàn)證點(diǎn)（=

a2+ab+b2

ab2

，

a2+ab+b2

b3

）適合方程③
∴三條直線OM，BP，AR通過同一點(diǎn)

點(diǎn)評：本題考查直線的一般式方程和垂直關(guān)系，涉及直線的交點(diǎn)，屬中檔題．