Question

判斷函數(shù)f（x）=

x

x+1

的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題考查的是函數(shù)的單調(diào)性證明問題．在解答時(shí)，首先要結(jié)合定義域和所給區(qū)間任設(shè)兩個(gè)變量并保證大小關(guān)系，然后通過作差法即可獲得相應(yīng)變量對應(yīng)函數(shù)值的大小關(guān)系，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義即可獲得問題的解答．

解答： 證明：任取x₁，x₂∈（-∞，-1）∪（-1，+∞），且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，
則f（x₁）-f（x₂）=

x1

x1+1

-

x2

x2+1

=

x1(x2+1)-x2(x1+1)

(x1+1)(x2+1)

=

x1-x2

(x1+1)(x2+1)

，
當(dāng)x₁，x₂∈（-∞，-1）時(shí)，x₁+1＜0，x₂+1＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
故f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴函數(shù)f（x）=

x

x+1

為增函數(shù)；
當(dāng)x₁，x₂∈（-1，+∞）時(shí)，x₁+1＞0，x₂+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
故f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴函數(shù)f（x）=

x

x+1

為增函數(shù)；
綜上所述，函數(shù)f（x）=

x

x+1

在∈（-∞，-1）和（-1，+∞）為增函數(shù)；

點(diǎn)評：本題考查的是函數(shù)的單調(diào)性證明問題．在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了函數(shù)單調(diào)性的定義、作差法以及分解因式等知識(shí)．值得同學(xué)們體會(huì)和反思．