Question

19．設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知（a₇-1）³+2012（a₇-1）=1，（a₂₀₀₆-1）³+2012（a₂₀₀₆-1）=-1，則下列結(jié)論正確的是（　�。�

• A． S₂₀₁₂=-2012，a₂₀₁₂＞a₇
• B． S₂₀₁₂=2012，a₂₀₁₂＞a₇
• C． S₂₀₁₂=-2012，a₂₀₁₂＜a₇
• D． S₂₀₁₂=2012，a₂₀₁₂＜a₇

Answer 1

分析 依題意，利用和的立方公式可得a₇+a₂₀₀₆=2，再利用等差數(shù)列的求和公式可得S₂₀₁₂=2012；令f（x）=x³+2012x，利用導(dǎo)數(shù)易知y=f（x）為R上的增函數(shù)，從而可得f（a₇-1）＞f（a₂₀₀₆-1），即a₇＞a₂₀₀₆，故等差數(shù)列{a_n}為遞減數(shù)列，于是可得答案．

解答 解：∵（a₇-1）³+2012（a₇-1）=1，（a₂₀₀₆-1）³+2012（a₂₀₀₆-1）=-1，
∴（a₇-1）³+（a₂₀₀₆-1）³+2012（a₇-1）+2012（a₂₀₀₆-1）=0，
即[（a₇-1）+（a₂₀₀₆-1）][（a₇-1）²+（a₂₀₀₆-1）²-（a₇-1）（a₂₀₀₆-1）]+2012[（a₇-1）+（a₂₀₀₆-1）]=0，
整理得：[（a₇-1）+（a₂₀₀₆-1）]{[（a₇-1）-$\frac{1}{2}$（a₂₀₀₆-1）]²+$\frac{3}{4}$（a₂₀₀₆-1）²+2012]}=0，
∴（a₇-1）+（a₂₀₀₆-1）=0，即a₇+a₂₀₀₆=2．
∵數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n，
∴S₂₀₁₂=$\frac{（{a}_{1}+{a}_{2012}）×2012}{2}$=$\frac{（{a}_{7}+{a}_{2006}）×2012}{2}$=2012，可排除A、C；
令f（x）=x³+2012x，則f′（x）=3x²+2012＞0，
∴y=f（x）為R上的增函數(shù)，又f（a₇-1）=1＞-1=f（a₂₀₀₆-1），
∴a₇-1＞a₂₀₀₆-1，即a₇＞a₂₀₀₆，故等差數(shù)列{a_n}為遞減數(shù)列，
∴a₇＞a₂₀₁₂，可排除B，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用，考查構(gòu)造函數(shù)思想及利用導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性，求得a₇+a₂₀₀₆=2及等差數(shù)列{a_n}為遞減數(shù)列是關(guān)鍵，屬于難題．