Question

7．已知函數(shù)f（x）=x²-（k+1）x+$\frac{9}{4}$，g（x）=2x-k，其中k∈R
（1）若f（x）在區(qū)間（1，4）上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）設(shè)函數(shù)p（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），x＜0}\\{g（x），x≥0}\end{array}\right.$，是否存在實(shí)數(shù)k，對(duì)任意給定的非零實(shí)數(shù)x₁，存在唯一的非零實(shí)數(shù)x₂（x₁≠x₂），使得p（x₁）=p（x₂）？若存在，求出k的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可得△=（k+4）（k-2），分類討論，分別求出實(shí)數(shù)k的取值范圍，再取并集，即得所求．
（2）根據(jù)g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，其值域?yàn)椋?k，+∞），f（x）在（-∞，0）上的值域?yàn)椋?\frac{9}{4}$，+∞），即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由題意知△=（k+4）（k-2）…（2分）
①當(dāng)f（1）f（4）＜0時(shí)，$\frac{9}{4}＜k＜\frac{57}{16}$．…（3分）
②當(dāng)f（1）f（4）=0時(shí)，k=$\frac{9}{4}$或k=$\frac{57}{16}$，經(jīng)檢驗(yàn)k=$\frac{9}{4}$符合．…（4分）
③當(dāng)△=0時(shí)，k=2或k=-4，經(jīng)檢驗(yàn)k=2符合．…（5分）
④當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{△＞0}\\{1＜\frac{k+1}{2}＜4}\\{f（1）＞0}\\{f（4）＞0}\end{array}\right.$時(shí)，解得2＜k＜$\frac{9}{4}$．…（6分）
綜上2≤k＜$\frac{57}{16}$             …（8分）
（Ⅱ）顯然g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，其值域?yàn)椋?k，+∞） …（10分）
∴f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，$\frac{k+1}{2}$≥0即k≥-1．
∴f（x）在（-∞，0）上的值域?yàn)椋?\frac{9}{4}$，+∞）           …（12分）
∴$k=-\frac{9}{4}$
而 k≥-1，∴這樣的k不存在．                         …（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化、以及分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．