Question

11．橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）在第一象限的部分與過點(diǎn)A（2，0）、B（0，1）的直線相切于點(diǎn)T，且橢圓的離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（2）設(shè)F₁，F(xiàn)₂為橢圓的左，右焦點(diǎn)，M為線段AF₂的中點(diǎn)，求證：∠ATM=∠AF₁T．

Answer 1

分析 （I）利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)及其性質(zhì)、直線與橢圓相切?△=0，即可得出；
（2）由（I）可得：T$（1，\frac{1}{2}）$，利用斜率計(jì)算公式可得：${k}_{{F}_{1}T}$=$\frac{\sqrt{6}-2}{2}$=tan∠AF₁T．由M為線段AF₂的中點(diǎn)，可得M$（1+\frac{\sqrt{6}}{4}，0）$，又k_TM=$-\frac{\sqrt{6}}{3}$，利用到角公式可得tan∠ATM=$\frac{{k}_{AT}-{k}_{TM}}{1+{k}_{AT}{k}_{TM}}$=$\frac{\sqrt{6}-2}{2}$，即可證明．

解答 解：（I）∵橢圓的離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，∴a²=b²+c²=4b²，
橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）化為x²+4y²=4b²．
直線AB的方程為：$\frac{x}{2}+\frac{y}{1}=1$，化為x+2y=2，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+2y=2}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4^{2}}\end{array}\right.$，化為x²-2x+2-2b²=0，
∵直線與橢圓相切，∴△=4-4（2-2b²）=0，解得b²=$\frac{1}{2}$，∴a²=2．
∴橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}+2{y}^{2}$=1．
（2）由（I）可得：T$（1，\frac{1}{2}）$，${F}_{1}（-\frac{\sqrt{6}}{2}，0）$，F(xiàn)₂$（\frac{\sqrt{6}}{2}，0）$．
∴${k}_{{F}_{1}T}$=$\frac{\frac{1}{2}-0}{1+\frac{\sqrt{6}}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}-2}{2}$=tan∠AF₁T．
∵M(jìn)為線段AF₂的中點(diǎn)，∴M$（1+\frac{\sqrt{6}}{4}，0）$，
∴k_TM=$\frac{\frac{1}{2}}{1-（1+\frac{\sqrt{6}}{4}）}$=$-\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴tan∠ATM=$\frac{{k}_{AT}-{k}_{TM}}{1+{k}_{AT}{k}_{TM}}$=$\frac{-\frac{1}{2}-（-\frac{\sqrt{6}}{3}）}{1+\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{6}}{3}}$=$\frac{\sqrt{6}-2}{2}$，
∴tan∠ATM=tan∠AF₁T，且∠ATM與∠AF₁T都是銳角．
∴∠ATM=∠AF₁T．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相切問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得△=0、斜率計(jì)算公式、到角公式、線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查了分類討論思想方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．