Question

橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a，b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)F₁、F₂，點(diǎn)P在橢圓C上，且PF₁⊥F₁F₂，|PF₁|=

4

3

，|PF₂|=

14

3

．
（1）求橢圓C的方程； 
（2）若直線L過(guò)圓（x+2）²+（y-1）²=5的圓心M交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且A、B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，求直線L的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a，b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)F₁、F₂，點(diǎn)P在橢圓C上，且PF₁⊥F₁F₂，|PF₁|=

4

3

，|PF₂|=

14

3

，結(jié)合橢圓的定義和勾股定理，可求出a，c，b的值，進(jìn)而得到橢圓C的方程； 
（2）法一：設(shè)出直線l的方程為：y=k（x+2）+1，聯(lián)立橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理，可得

x1+x2

2

=-

18k2+9k

4+9k2

=-2，求出k值，進(jìn)而得到直線L的方程．
法二：設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）．利用“差點(diǎn)法”得到直線的斜率，進(jìn)而得到直線L的方程．

解答： 解：（1）P在橢圓C上，|PF₁|=

4

3

，|PF₂|=

14

3

．
∴2a=|PF₁|+|PF₂|=6，即a=3．
∵PF₁⊥F₁F₂，
∴2c=

|PF2|2-|PF1|2

=2

5

，即c=

5

，
∴b²=a²-c²=4，
∴橢圓C的方程為

x2

9

+

y2

4

=1．
（2）法一：設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂）．
由圓的方程為（x+2）²+（y-1）²=5，所以圓心M的坐標(biāo)為（-2，1）．
從而可設(shè)直線l的方程為：y=k（x+2）+1，
代入橢圓C的方程得：（4+9k²）x²+（36k²+18k）x+36k²+36k-27=0．
因?yàn)锳，B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱．
所以

x1+x2

2

=-

18k2+9k

4+9k2

=-2，
解得k=

8

9

，
所以直線l的方程為y=

8

9

（x+2）+1   即8x-9y+25=0．  （經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意）
法二：已知圓的方程為（x+2）²+（y-1）²=5，所以圓心M的坐標(biāo)為（-2，1）．
設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
由題意x₁≠x₂且

x12

9

+

y12

4

=1…①，

x22

9

+

y22

4

=1…②
由①-②得：

(x1-x2)(x1+x2)

9

+

(y1-y2)(y1+y2)

4

=1③
因?yàn)锳、B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，所以x₁+x₂=-4，y₁+y₂=2，
代入③得

(y1-y2)

(x1-x2)

=

8

9

，
即直線l的斜率為

8

9

，
所以直線l的方程為y-1=

8

9

（x+2），
即8x-9y+25=0．（經(jīng)檢驗(yàn)，所求直線方程符合題意．）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與圓錐曲線的關(guān)系，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，是直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用，難度中檔．