Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\frac{ln（x+a）}{lnx}$．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間，并比較log₃4，log₄5與log₅6的大�。�
（Ⅱ）若實(shí)數(shù)a滿足|a|≥1時(shí)，討論f（x）極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)在不同區(qū)間的正負(fù)得出函數(shù)f（x）的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大��；
（Ⅱ）先對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)，通過(guò)討論導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)確定函數(shù)f（x）的單調(diào)性，從而得到函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=$\frac{xlnx-（x+1）ln（x+1）}{x（x+1）l{n}^{2}x}$，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}{0＜x＜x+1}\\{0＜lnx＜ln（x+1）}\end{array}\right.$
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}{0＜x＜x+1}\\{lnx＜0＜ln（x+1）}\end{array}\right.$，從而xlnx＜（x+1）ln（x+1），所以f′（x）＜0．
即f（x）只有減區(qū)間，故f（x）的減區(qū)間為：（0，1），（1，+∞）．
又f（x）=log_x（x+1），
所以log₃4＞log₄5＞log₅6．
（Ⅱ）f′（x）=$\frac{xlnx-（x+a）ln（x+a}{x（x+a）l{n}^{2}x}$，下面只需確定xlnx-（x+a）ln（x+a）的符號(hào)．
令g（x）=xlnx，則g′（x）=1+lnx，當(dāng)x∈（0，$\frac{1}{e}$）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（$\frac{1}{e}$，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增．
①若（x+a）-x=a≥1，當(dāng)x∈（0，$\frac{1}{e}$）時(shí)，x+a∈（1，+∞），
∴g（x）＜0＜g（x+a）；
當(dāng)x∈（$\frac{1}{e}$，+∞）時(shí)，x+a∈（$\frac{1}{e}$，+∞）因?yàn)間（x）在（$\frac{1}{e}$，+∞）上單調(diào)遞增，得g（x）＜g（x+a）；
∴當(dāng)x∈（0，1）∪（1，+∞）時(shí)，都有g(shù)（x）＜g（x+a），∴f′（x）＜0．
此時(shí)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）也單調(diào)遞減，無(wú)極值點(diǎn)．
②若（x+a）-x=a≤-1，∵f（x）的定義域?yàn)椋?a，+∞），此時(shí)x＞1，
∴由g（x）性質(zhì)可知：當(dāng)x∈（-a，+∞）時(shí)，g（x）-g（x+a）＞0，
即f′（x）＞0，此時(shí)f（x）在（-a，+∞）上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)．
綜上：|a|≥1時(shí)，f（x）無(wú)極值點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值問(wèn)題，綜合性較強(qiáng)，注意分類討論的數(shù)學(xué)思解在解題中的應(yīng)用．