Question

已知

m

=（sinωx+cosωx，

3

cosωx），

n

=（cosωx-sinωx，2sinωx）（ω＞0）．若f（x）=

m

•

n

，且f（x）相鄰兩對稱軸間的距離等于

π

2

．
（1）求ω的值；
（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，a=

3

，b+c=3（b＞c），f（A）=1，求邊b，c的長．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦定理

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）首先，結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，化簡函數(shù)f（x）的解析式，然后，結(jié)合周期公式，確定ω的值；
（2）根據(jù)（1），先確定A的值，然后，結(jié)合余弦定理，求解邊b，c的長．

解答： 解：（1）∵

m

=（sinωx+cosωx，

3

cosωx），

n

=（cosωx-sinωx，2sinωx）（ω＞0），
∴f（x）=

m

•

n

=

cos2ωx-sin2ωx+2 3 cosωxsinωx

=

cos2ωx+ 3 sin2ωx=2sin(2ωx+ π 6 )

，
∵T=

π

2ω

=

π

2

，
∴ω=1，
∴ω的值1．                    
（2）由（1）ω=1，
∴f(x)=2sin(2x+

π

6

)，
∵f（A）=1，∴sin(2A+

π

6

)=

1

2

，
而

π

6

＜2A+

π

6

＜

13π

6

，
∴2A+

π

6

=

5

6

π，
∴A=

π

3

．  
由余弦定理：cosA=

1

2

=

b2+c2-a2

2bc

，
即b²+c²-bc=3，又b+c=3，（b＞c）
聯(lián)立解得：b=2，c=1．

點評：本題綜合考查了三角恒等變換公式，二倍角公式等知識，余弦定理及其運用等，屬于中檔題．