Question

13．已知直線y=-x+m是曲線y=x²-3lnx的一條切線，若函數(shù)f（x）=$\frac{{m}^{x}-1}{1+{m}^{x}}$，滿足f[a（x+1）]+f[（x+2）（x+4）]＞0，對于任意的x∈（0，+∞）恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． （2$\sqrt{3}$+4，+∞）
• B． [-2$\sqrt{3}$，+∞）
• C． （4，+∞）
• D． （-2$\sqrt{3}$-4，+∞）

Answer 1

分析 求出曲線的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)為-1，求出切點坐標(biāo)，即可求出m的值．判斷函數(shù)是奇函數(shù)，f（x）=1-$\frac{2}{1+{2}^{x}}$是單調(diào)增函數(shù)，f[a（x+1）]+f[（x+2）（x+4）]＞0，對于任意的x∈（0，+∞）恒成立，可以轉(zhuǎn)化為a＞-$\frac{（x+2）（x+4）}{x+1}$對于任意的x∈（0，+∞）恒成立，即可得出結(jié)論．

解答 解：曲線y=x²-3lnx（x＞0）的導(dǎo)數(shù)為：y′=2x-$\frac{3}{x}$，
由題意直線y=-x+m是曲線y=x²-3lnx的一條切線，可知2x-$\frac{3}{x}$=-1，
所以x=1，所以切點坐標(biāo)為（1，1），
切點在直線上，所以m=1+1=2，
所以f（x）=$\frac{{m}^{x}-1}{1+{m}^{x}}$=$\frac{{2}^{x}-1}{1+{2}^{x}}$，
所以f（-x）=-f（x），函數(shù)是奇函數(shù)，
因為f（x）=1-$\frac{2}{1+{2}^{x}}$是單調(diào)增函數(shù)，
所以f[a（x+1）]+f[（x+2）（x+4）]＞0，對于任意的x∈（0，+∞）恒成立，
可以轉(zhuǎn)化為a＞-$\frac{（x+2）（x+4）}{x+1}$對于任意的x∈（0，+∞）恒成立，
令t=x+1（t＞1），則$\frac{（x+2）（x+4）}{x+1}$=t+$\frac{3}{t}$+4≥2$\sqrt{3}$+4，
所以a$＞-2\sqrt{3}-4$．
故選：D．

點評 本題考查曲線的導(dǎo)數(shù)與切線方程的關(guān)系，考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，考查恒成立問題，考查計算能力，屬于中檔題．