Question

18．已知函數(shù)f（x）=ln（x+1）-ax，x=0是極值點(diǎn)．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）設(shè)g（x）=$\frac{f（x-1）+x-1}{x}$，試比較g（6）+g（12）+…+g[n（n+1）]與$\frac{2{n}^{2}-n-1}{2（n+1）}$（n∈Z，n≥2）的大小．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，利用x=0是極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）證明當(dāng)x＞1時(shí)，lnx＜x-1，可得x＞1時(shí)，g（x）＜$\frac{x-1}{x}$=1-$\frac{1}{x}$，即可比較大小．

解答 解：（1）∵f（x）=ln（x+1）-ax，
∴f′（x）=$\frac{1}{x+1}$-a，…（2分）
由題意f′（0）=1-a=0…（（3分）
∴a=1…（4分）
（2）g（x）=$\frac{lnx}{x}$．…（5分）
先證當(dāng)x＞1時(shí)，lnx＜x-1
令h（x）=lnx-x+1，h′（x）=$\frac{1}{x}$-1＜0．…（6分）
所以h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
所以h（x）＜h（1）=0，
所以當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）＜$\frac{x-1}{x}$=1-$\frac{1}{x}$．…（8分）
所以g（6）+g（12）+…+g[n（n+1）]
$＜1-\frac{1}{2×3}$+1-$\frac{1}{3×4}$+…+1-$\frac{1}{n（n+1）}$=n-1-（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{2{n}^{2}-n-1}{2（n+1）}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查大小比較，正確運(yùn)用導(dǎo)數(shù)是關(guān)鍵．