Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinx+cosx，將f（x）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)都變化到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)g（x）的圖象，那么g（x）的周期是4π，值域是[-2，2]，含原點(diǎn)的遞增區(qū)間是[$-\frac{4π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]．

Answer 1

分析 利用輔助角公式將函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinx+cosx化簡，根據(jù)平移變換的規(guī)律求出函數(shù)g（x），即可求解周期，值域和單調(diào)性．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinx+cosx，
化簡可得：f（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$），橫坐標(biāo)都變化到原來的2倍，
可得：2sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$）=g（x）．
∴g（x）的周期T=$\frac{2π}{\frac{1}{2}}$=4π．
值域?yàn)閇-2，2]．
由$2kπ-\frac{π}{2}≤\frac{1}{2}x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z．
可得：$4kπ-\frac{4π}{3}$≤x≤$4kπ+\frac{2π}{3}$．
∴含原點(diǎn)的遞增區(qū)間[$-\frac{4π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]．
故答案為：4π，[-2，2]，[$-\frac{4π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．