Question

11．已知函數(shù)f（x）=|x+a|+|2x-1|（a∈R）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f（x）≥2的解集；
（2）若f（x）≤2x的解集包含[$\frac{1}{2}，1$]，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=1時(shí)，把要解的不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的三個(gè)不等式組，求出每個(gè)不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（2）由題意得當(dāng)x∈[$\frac{1}{2}，1$]時(shí)，f（x）≤2x恒成立，化簡(jiǎn)可得|x+a|≤1，即-1-x≤a≤1-x，由此求得a的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，不等式f（x）≥2，即|x+1|+|2x-1|≥2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＜-1}\\{-x-1+1-2x≥2}\end{array}\right.$①，或$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x≤\frac{1}{2}}\\{x+1+1-2x≥2}\end{array}\right.$②，或$\left\{\begin{array}{l}{x＞\frac{1}{2}}\\{x+1+2x-1≥2}\end{array}\right.$③．
解①求得x＜-1，解②求得-1≤x≤0，解③求得x≥$\frac{2}{3}$．
綜上可得，不等式的解集為{x|x≤0，或 x≥$\frac{2}{3}$}．
（2）若f（x）≤2x的解集包含[$\frac{1}{2}，1$]，則當(dāng)x∈[$\frac{1}{2}，1$]時(shí)，f（x）≤2x恒成立，
即|x+a|+|2x-1|≤2x恒成立，即|x+a|+2x-1≤2x恒成立，即|x+a|≤1，
即-1≤x+a≤1，即-1-x≤a≤1-x，∴-$\frac{3}{2}$≤a≤0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，絕對(duì)值三角不等式，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．