Question

12．已知函數(shù)f（x）=x⁴-$\frac{1}{3}$mx³+$\frac{1}{2}$x²+1在（0，1）上是單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的最大值為（　�。�

• A． 4
• B． 5
• C． $\frac{29}{5}$
• D． 6

Answer 1

分析 求出函數(shù)的對(duì)數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為m≤4x+$\frac{1}{x}$在（0，1）恒成立，根據(jù)不等式的性質(zhì)求出m的最大值即可．

解答 解：f（x）=x⁴-$\frac{1}{3}$mx³+$\frac{1}{2}$x²+1，f′（x）=4x³-mx²+x，
函數(shù)f（x）=x⁴-$\frac{1}{3}$mx³+$\frac{1}{2}$x²+1在（0，1）上是單調(diào)遞增函數(shù)，
則f′（x）≥0在（0，1）恒成立，即m≤4x+$\frac{1}{x}$在（0，1）恒成立，
而4x+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{4x•\frac{1}{x}}$=4，當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)“=”成立，
故m≤4，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．